Question

如图，某中学有一块长为a m、宽为b m的矩形场地，计划在该场地上修筑宽都为2m的两条互相垂直的道路，余下的4块矩形小场地建成草坪．

(1)请分别写出每条道路的面积(用含a或含b的代数式表示)．

(2)已知a∶b＝2∶1，并且4块草坪的面积之和为312m²，试求原来矩形场地的长与宽各为多少？

(3)在(2)的条件下，为进一步美化校园，根据实际情况，学校决定对整个矩形场地作如下设计(要求同时符合下述两个条件)：

条件①：在每块草坪上各修建一个面积尽可能大的菱形花圃(花圃各边必须分别与所在草坪的对角线平行)，并且其中有两个花圃的面积之差为13m²；

条件②：整个矩形场地(包括道路、草坪、花圃)为轴对称图形．

请你画出符合上述设计方案的一种草图(不必说明画法与根据)，并求出每个菱形花圃的面积．

Answer 1

答案：
解析：

解：(1)这两条道路的面积分别为2a m2与2b m2． 　　(2)设b＝x m，a＝2x m，依题意得 　　x·2x－(2x＋4x－4)＝312．整理得x2－3x－154＝0， 　　解得x1＝14，x2＝－11(舍去)．∴b＝14，a＝2x＝28． 　　即矩形的长为28m，宽为14m． 　　(3)符合设计方案的一种草图如图(1)所示，其中4个菱形花圃中，第1个与第2个，第3个与第4个花圃的面积分别相等． 　　设AE＝x，则FB＝14－2－x＝(12－x)m，AG＝＝13m． 　　依题意得×13·x－(12－x)×13＝13，解得x＝7m， 　　∴大菱形花圃面积为×7×13＝45.5m2．小菱形花圃面积为×(12－7)×13＝32.5m2． 　　(注：其他符合设计方案的3种花圃见下面图(1)、图(2)、图(3)，同上法仍可求得大、小花圃的面积分别为45.5m2与32.5m2)