Question

17．在菱形ABCD中，∠B=60°，AC为对角线．点E、F分别在边AB、DA或其延长线上，连结CE、CF，且∠ECF=60°．
感知：如图①，当点E、F分别在边AB、DA上时，易证：AF=BE．（不要求证明）
探究：如图②，当点E、F分别在边AB、DA的延长线上时，CF与边AB交于点G．求证：AF=BE．
应用：如图②，若AB=12，AF=4，求线段GE的长．

Answer 1

分析 探究：先由菱形的性质得出AC=BC，∠ACB=∠DAC=∠ABC=60°，则可证∠FAC=∠EBC=120°，∠ACF=∠BCE=60°-∠GCB，那么根据ASA可得△ACF≌△BCE，利用全等三角形对应边相等得出AF=BE；
应用：先由菱形的性质得出AD∥CB，那么△AFG∽△BCG，利用相似三角形对应边成比例得出$\frac{GA}{GB}$=$\frac{AF}{BC}$=$\frac{4}{12}$=$\frac{1}{3}$，所以GB=3GA．由GA+GB=AB=12，求出GA=3，GB=9，根据GE=GB+BE即可求解．

解答 探究：证明：如图2，∵四边形ABCD是菱形，∠ABC=60°，
∴AC=BC，∠ACB=∠DAC=∠ABC=60°，
∴∠FAC=180°-∠DAC=120°，∠EBC=180°-∠ABC=120°，
∴∠FAC=∠EBC．
又∵∠ECF=60°，
∴∠ACF=∠ACB-∠GCB=60°-∠GCB，
∠BCE=∠ECF-∠GCB=60°-∠GCB，
∴∠ACF=∠BCE．
在△ACF与△BCE中
$\left\{\begin{array}{l}{∠FAC=∠EBC}\\{AC=BC}\\{∠ACF=∠BCE}\end{array}\right.$，
∴△ACF≌△BCE（ASA），
∴AF=BE；

应用：解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AD∥CB，
∴△AFG∽△BCG，
∴$\frac{GA}{GB}$=$\frac{AF}{BC}$=$\frac{4}{12}$=$\frac{1}{3}$，
∴GB=3GA．
又∵GA+GB=AB=12，
∴GA+3GA=12，
∴GA=3，
∴GB=9，
又∵AF=BE，
∴GE=GB+BE=9+4=13．

点评 本题考查了菱形的性质，全等三角形、相似三角形的判定与性质，证明出△ACF≌△BCE是解题的关键．