Question

4．在平面直角坐标系xOy中，抛物线C₁：y=mx²-2mx+m+4与y轴交于点A（0，3），与x轴交于点B、C（点B在点C左侧）．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）求点B的坐标；
（3）若抛物线C₂：y=a（x-1）²-1（a≠0）与线段AB恰有一个公共点，结合函数的图象，求a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）直接把点A的坐标代入y=mx²-2mx+m+4得m+4=3，然后求出m的值即可得到抛物线的解析式；
（2）利用抛物线与x轴的交点问题，通过解方程x²+2x+3=0可得到B点坐标；
（3）抛物线y=a（x-1）²-1（a≠0）的顶点坐标为（1，-1），则开口向上，根据二次函数的性质，抛物线C₂与线段AB的公共点为B点时，a最小；当抛物线C₂与线段AB的公共点为A点时，a最大，然后把A、B两点的坐标分别代入计算出对应的a的值，从而可确定a的取值范围．

解答 解：（1）把A（0，3）代入y=mx²-2mx+m+4得m+4=3，解得m=-1，
所以抛物线的解析式为y=-x²+2x+3；
（2）当y=0时，-x²+2x+3=0，解得x₁=-1，x₂=3，
所以B（-1，0）；
（3）抛物线C₂：y=a（x-1）²-1（a≠0）的顶点坐标为（1，-1），
因为抛物线C₂与线段AB恰有一个公共点，则开口向上，
当抛物线C₂与线段AB的公共点为B点时，a最小，把B（-1，0）代入y=a（x-1）²-1得4a-1=0，解得a=$\frac{1}{4}$；
当抛物线C₂与线段AB的公共点为A点时，a最大，把A（0，3）代入y=a（x-1）²-1得a-1=3，解得a=4，
所以a的取值范围为$\frac{1}{4}$≤a≤4．

点评 本题考查了待定系数法求二次函数的解析式：在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．一般地，当已知抛物线上三点时，常选择一般式，用待定系数法列三元一次方程组来求解；当已知抛物线的顶点或对称轴时，常设其解析式为顶点式来求解；当已知抛物线与x轴有两个交点时，可选择设其解析式为交点式来求解．也考查了二次函数的性质．