Question

2．在向红星镇居民介绍王家庄位置的时候，我们可以这样说：如图1，在以红星镇为原点，正东方向为x轴正方向，正北方向为y轴正方向的平面直角坐标系（1单位长度表示的实际距离为1km）中，王家庄的坐标为（5，5）；也可以说，王家庄在红星镇东北方向$\sqrt{50}$km的地方．

还有一种方法广泛应用于航海、航空、气象、军事等领域．如图2：在红星镇所建的雷达站O的雷达显示屏上，把周角每15°分成一份，正东方向为0°，相邻两圆之间的距离为1个单位长度（1单位长度表示的实际距离为1km），现发现2个目标，我们约定用（10，15°）表示点M在雷达显示器上的坐标，则：
（1）点N可表示为（8，135°）；王家庄位置可表示为（$\sqrt{50}$，45°）；点N关于雷达站点0成中心对称的点P的坐标为（8，315°）；
（2）S_△OMP=20$\sqrt{3}$km²；
（3）若有一家大型超市A在图中（4，30°）的地方，请直接标出点A，并将超市A与雷达站O连接，现准备在雷达站周围建立便民服务店B，使得△ABO为底角30°的等腰三角形，请直接写出B点在雷达显示屏上的坐标．

Answer 1

分析 （1）根据坐标中的第一个数值表示到O点距离，第二个数表示这点与正东方向的夹角，利用此方法写出点N、王家庄和点P的坐标；
（2）作PH⊥OM于H，如图，先利用含30度的直角三角形三边的关系求出OH=4，PH=$\sqrt{3}$OH=4$\sqrt{3}$，然后根据三角形面积公式计算；
（3）分类讨论：分别以点A、B、O为顶点，利用等腰三角形的性质和含30度的直角三角形三边的关系求出OB的长，从而得到对应B点坐标．

解答 解：（1）N点表示为（8，135°），王家庄位置可表示为（$\sqrt{50}$，45°），点P的坐标表示为（8，315°），
（2）作PH⊥OM于H，如图，
∵∠POH=60°，
∴OH=$\frac{1}{2}$OP=$\frac{1}{2}$×8=4，PH=$\sqrt{3}$OH=4$\sqrt{3}$，
∴S_△OMP=$\frac{1}{2}$×10×4$\sqrt{3}$=20$\sqrt{3}$（km²）；
（3）如图，当AB=AO，则B点坐标为（4$\sqrt{3}$，0）或（4$\sqrt{3}$，60°），
当BA=BO，则B点坐标为（$\frac{4\sqrt{3}}{3}$，0）或（$\frac{4\sqrt{3}}{3}$，60°），
当OB=OAQ，则B点坐标为（4，150）或（4，270°）．
故答案为（8，135°），（$\sqrt{50}$，45°），（8，315°）；

点评 本题考查了坐标确定位置：平面内的点与有序实数对一一对应；记住直角坐标系中特殊位置点的坐标特征．