Question

15．如图，菱形ABCD中，∠BAD=60°，M是AB的中点，P是对角线AC上的一个动点，若PM+PB最小值是$\sqrt{3}$，则AB长为（　　）

• A． 1
• B． 2
• C． 2.5
• D． 3

Answer 1

分析 先连接BD，因为四边形ABCD是菱形且∠BAD=60°，所以△ABD是等边三角形，由于菱形的对角线互相垂直平分，所以点D是点B关于AC的对称点，AD=BD，连接MD，由等边三角形的性质可知DM⊥AB，再根据勾股定理即可求出AB的长．

解答 解：如图，∵四边形ABCD是菱形，
∴B与D关于直线AC对称，
∴连接DM交AC于E，则点E即为所求，
BP+PM=PD+PM=DM，
即DM就是PM+PB的最小值$\sqrt{3}$（根据的是两点之间线段最短），
∵∠DAB=60°，
∴AD=AB=BD，
∵M是AB的中点，
∴DM⊥AB，
∵PM+PB=$\sqrt{3}$，
∴DM=$\sqrt{3}$，
∴AB=AD=∴AB=AD=$\frac{DM}{sin60°}$=$\frac{\sqrt{3}}{\frac{\sqrt{3}}{2}}$=2．
故选B．

点评 本题考查的是最短线路问题及菱形的性质，由菱形的性质得出点D是点B关于AC的对称点是解答此题的关键．