Question

如图，已知二次函数y=a（x²-6x+8）(a>0)的图象与x轴交于点A、B两点，与y轴交于点C．
（1）求A、B两点的坐标；
（2）若S_△ABC=8，则过A、B、C三点的圆是否与抛物线有第四个交点D？若存在，求出D点坐标；若不存在，说明理由．
（3）将△OAC沿直线AC翻折，点O的对应点为O＇．
①若O＇落在该抛物线的对称轴上，求实数a的值；
②是否存在正整数a，使得点O＇落在△ABC的内部，若存在，求出整数a的值；若不存在，请说明理由．

 

Answer 1

(1) A（2，0），B（4，0）;(2) D（6，8）；（3），不存在．

试题分析：
（1）令y=0，则x²-6x+8=0，
解得：x₁=2，x₂=4，
∴A（2，0），B（4，0）
（2）∵S_△ABC=AB·OC=×2×8a=8，
∴a=1，C(0，8)
∵抛物线与圆均为轴对称图形，都关于直线x=3对称，
∴圆与抛物线第四个交点为D（6，8）
（3）①将△OAC沿直线AC翻折，点O的对应点O′落在对称轴x=3上，
∴AE=1，AO="2"
在Rt O′AE中，∠O′AM=60°
∴∠CAO=60°

∴a=
②过A点作AF⊥BC，E为垂足，
∴AF=2＜AB，
即AF＜OA
∴不论a取何值，O点的对应点O′总落在△ABC的外部
∴这样的整数a不存在．