Question

【题目】如图，在平面直角坐标系中，直线AB：y=kx+b交y轴于点A（0，1），交x轴于点B（3，0）.平行于y轴的直线x=1交AB于点D，交x轴于点E，点P是直线x=1上一动点，且在点D的上方，设P（1，n）.

（1）求直线AB的表达式；

（2）求△ABP的面积（用含n的代数式表示）；

（3）当S△ABP=2时，以PB为边在第一象限作等腰直角三角形BPC，直接写出点C的坐标.

Answer 1

【答案】（1）y＝﹣x+1；（2）n﹣1；(3) （3，4）或（5，2）或（3，2）

【解析】

（1）利用待定系数法求直线AB的解析式；

（2）根据铅直高度与水平宽度的积可得三角形的面积；

（3）先计算当S△ABP＝2时，P的坐标，以PB为边在第一象限作等腰直角三角形BPC，分三种情况讨论：分别以三个顶点为直角顶点画三角形，根据图形可得C的坐标．

（1）设直线AB的解析式是y＝kx+b，

把点A（0，1），点B（3，0）代入得：解得：，

∴直线AB的解析式是：y＝﹣x+1；

（2）∵P（1，n），

∴D（1，），即PD＝n﹣，

∴S△ABP＝PDOB＝（n﹣）×3＝n﹣1；

（3）当S△ABP＝2时，2＝n﹣1，解得n＝2，

∴点P（1，2）．

∵E（1，0），

∴PE＝BE＝2，

∴∠EPB＝∠EBP＝45°

①如图1，∠CPB＝90°，BP＝PC，

过点C作CN⊥直线x＝1于点N．

∵∠CPB＝90°，∠EPB＝45°，

∴∠NPC＝∠EPB＝45°．

又∵∠CNP＝∠PEB＝90°，BP＝PC，

∴△CNP≌△BEP，

∴PN＝NC＝EB＝PE＝2，

∴NE＝NP+PE＝2+2＝4，

∴C（3，4）．

②如图2，∠PBC＝90°，BP＝BC，

过点C作CF⊥x轴于点F．

∵∠PBC＝90°，∠EBP＝45°，

∴∠CBF＝∠PBE＝45°．

又∵∠CFB＝∠PEB＝90°，BC＝BP，

∴△CBF≌△PBE．

∴BF＝CF＝PE＝EB＝2，

∴OF＝OB+BF＝3+2＝5，

∴C（5，2）．

③如图3，∠PCB＝90°，

∴∠CPB＝∠EBP＝45°，

∠CPB＝∠EBP，BP＝BP，∠PCB＝∠PEB＝90°

∴△PCB≌△BEP，

∴PC＝CB＝PE＝EB＝2，

∴C（3，2）．

∴以PB为边在第一象限作等腰直角三角形BPC，

综上所述点C的坐标是（3，4）或（5，2）或（3，2）．