Question

在四边形ABDE中，C是BD边的中点．
（1）如图（1），若AC平分∠BAE，∠ACE=90°，则线段AE、AB、DE的长度满足的数量关系为

 

；（直接写出答案）
（2）如图（2），AC平分∠BAE，EC平分∠AED，若∠ACE=120°，则线段AB、BD、DE、AE的长度满足怎样的数量关系？写出结论并证明；
（3）如图（3），如图（3），BD=8，AB=2，DE=8，若ACE=135°，则线段AE长度的最大值是

 

（直接写出答案）．

Answer 1

考点：全等三角形的判定与性质,等边三角形的判定与性质

专题：

分析：（1）在AE上取一点F，使AF=AB，及可以得出△ACB≌△ACF，就可以得出BC=FC，∠ACB=∠ACF，就可以得出△CEF≌△CED．就可以得出结论；
（2）在AE上取点F，使AF=AB，连结CF，在AE上取点G，使EG=ED，连结CG．可以求得CF=CG，△CFG是等边三角形，就有FG=CG=

1

2

BD，进而得出结论；
（3）在AE上取点F，使AF=AB，连结CF，在AE上取点G，使EG=ED，连结CG．可以求得CF=CG，△CFG是等腰直角三角形，由勾股定理求出FG的值就可以得出结论．

解答：解：（1）AE=AB+DE；
理由：在AE上取一点F，使AF=AB．
∵AC平分∠BAE，
∴∠BAC=∠FAC．
在△ACB和△ACF中，

AB=AF ∠BAC=∠FAC AC=AC

，
∴△ACB≌△ACF（SAS），
∴BC=FC，∠ACB=∠ACF．
∵C是BD边的中点．
∴BC=CD，
∴CF=CD．
∵∠ACE=90°，
∴∠ACB+∠DCE=90°，∠ACF+∠ECF=90°
∴∠ECF=∠ECD．
在△CEF和△CED中，

CF=CD ∠ECF=∠ECD CE=CE

，
∴△CEF≌△CED（SAS），
∴EF=ED．
∵AE=AF+EF，
∴AE=AB+DE；
故答案为：AE=AB+DE


（2）猜想：AE=AB+DE+

1

2

BD．
证明：在AE上取点F，使AF=AB，连结CF，在AE上取点G，使EG=ED，连结CG．

∵C是BD边的中点，
∴CB=CD=

1

2

BD．
∵AC平分∠BAE，
∴∠BAC=∠FAC．
在△ACB和△ACF中，

AB=AF ∠BAC=∠FAC AC=AC

，
∴△ACB≌△ACF（SAS），
∴CF=CB，∴∠BCA=∠FCA．
同理可证：CD=CG，∴∠DCE=∠GCE．
∵CB=CD，∴CG=CF
∵∠ACE=120°，
∴∠BCA+∠DCE=180°-120°=60°．
∴∠FCA+∠GCE=60°．
∴∠FCG=60°．
∴△FGC是等边三角形．
∴FG=FC=

1

2

BD．
∵AE=AF+EG+FG．
∴AE=AB+DE+

1

2

BD．
（3）在AE上取点F，使AF=AB，连结CF，在AE上取点G，使EG=ED，连结CG．
∵C是BD边的中点，
∴CB=CD=

1

2

BD．
∵AC平分∠BAE，
∴∠BAC=∠FAC．
在△ACB和△ACF中，

AB=AF ∠BAC=∠FAC AC=AC

，
∴△ACB≌△ACF（SAS），
∴CF=CB，∴∠BCA=∠FCA．
同理可证：CD=CG，∴∠DCE=∠GCE．
∵CB=CD，∴CG=CF
∵∠ACE=135°，
∴∠BCA+∠DCE=180°-135°=45°．
∴∠FCA+∠GCE=45°．
∴∠FCG=90°．
∴△FGC是等腰直角三角形．
∴FC=

1

2

BD．
∵BD=8，
∴FC=4，
∴FG=4

2

．
∵AE=AF+FG+GE，
∴AE=AB+4

2

+DE．
∵AB=2，DE=8，
∴AE≤AF+FG+EG=10+4

2

．
故答案为：10+4

2

．

点评：本题考查了角平分线的性质的运用，全等三角形的判定及性质的运用，等边三角形的性质的运用，勾股定理的运用，解答时证明三角形全等是关键．