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(2004•枣庄)如图,已知矩形ABCD中,CE⊥BD于E,CF平分∠DCE与DB交于点F,FG∥DA与AB交于点G.
(1)求证:BF=BC;
(2)若AB=4cm,AD=3cm,求CF.

【答案】分析:(1)要求证:BF=BC只要证明∠CFB=∠FCB就可以,从而转化为证明∠BCE=∠BDC就可以;
(2)已知AB=4cm,AD=3cm,就是已知BC=BF=3cm,CD=4cm,在直角△BCD中,根据三角形的面积等于BD•CE=BC•DC,就可以求出CE的长.
要求CF的长,可以在直角△CEF中用勾股定理求得.其中EF=BF-BE,BE在直角△BCE中根据勾股定理,就可以求出.
解答:(1)证明:∵四边形ABCD是矩形,
∴∠CDB+∠DBC=90°.
∵CE⊥BD,
∴∠DBC+∠ECB=90°.
∴∠ECB=∠CDB.
又∵∠DCF=∠ECF,
∴∠CFB=∠CDB+∠DCF=∠ECB+∠ECF=∠BCF.
∴BF=BC;

(2)解:在Rt△ABD中,由勾股定理得
BD===5.
又∵BD•CE=BC•DC,
∴CE=
=
∴EF=BF-BE=3-
∴CF=
点评:本题主要应用了等腰三角形的判定定理,等角对等边,以及勾股定理.
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