Question

如图，已知直线与x轴、y轴分别交于点A、B，线段AB为直角边在第一象限内作等腰Rt△ABC，∠BAC=90°.

（1）求△AOB的面积；
（2）求点C坐标；
（3）点P是x轴上的一个动点，设P（x,0）
①请用x的代数式表示PB²、PC²；
②是否存在这样的点P，使得|PC-PB|的值最大？如果不存在，请说明理由；
如果存在，请求出点P的坐标.

Answer 1

(1)6；（2）（7，4）；（3）①，；②存在这样的P点，P（3，0）.

试题分析：（1）先由直线求出A、B两点的横坐标，即OA、OB的长，从而可求出△AOB的面积；
（2）过C点作CD⊥x轴，垂足为D，构造Rt△ADC.易证△OAB≌△DCA，从而可求出CD=4，OD=7,所以C点坐标为（7，4）；
（3）①由（2）可知，PD=7-x，在Rt△OPB中，，Rt△PCD中，
②存在这样的P点．P（3，0）.
试题解析：（1）由直线，令y=0，得OA=x=4，令x=0，得OB=y=3，∴S_△AOB=×4×3=6；
（2）过C点作CD⊥x轴，垂足为D，

∵∠BAO+∠CAD=90°，∠ACD+∠CAD=90°，
∴∠BAO=∠ACD，
又∵AB=AC，∠AOB=∠CDA=90°，
∴△OAB≌△DCA，
∴CD=OA=4，AD=OB=3，则OD=4+3=7，
∴C（7，4）；
（3）①由（2）可知，PD=7-x，
在Rt△OPB中，PB²=OP²+OB²=x²+9，
Rt△PCD中，PC²=PD²+CD²=（7-x）²+16=x²-14x+65，
②存在这样的P点．
设B点关于 x轴对称的点为B′，则B′（0，-3），
连接CB′，设直线B′C解析式为y=kx+b，将B′、C两点坐标代入，得
解得
所以，直线B′C解析式为y=x-3，
令y=0，得P（3，0），此时|PC-PB|的值最大，