Question

【题目】如图1，点A、B、C分别是⊙O上不重合的三点，连接AC、BC.

（1）如图2，点P是直线AB上方且在⊙O外的任意一点， 连接AP、BP.试比较∠APB与∠ACB的大小关系，并说明理由；

（2） 若点P是⊙O内任意一点， 连接AP、BP，比较∠APB与∠ACB大小关系；

（3）如图3，在平面直角坐标系xOy中，点A与点B的坐标分别是（1，0），（5，0），点P是直线y＝－x上一动点，当∠APB取得最大值时，直接写出点P的坐标，并简要说明点P的位置是如何确定的．

Answer 1

【答案】（1）∠APB＜∠ACB；（2）∠APB＞∠ACB；（3）.

【解析】

（1）设AP与⊙O交于点E，连接AE，根据圆周角定理可知∠AEB=∠ACB，再由三角形外角的性质可得∠AEB＞∠APB，由此可得出结论；

（2）设BP的延长线与⊙O交于点D，连接AD，根据圆周角定理可知∠D=∠C，再由三角形外角的性质可得∠D＜∠APB，由此可得出结论；

（3）由三角形外角的性质可证得：在同圆或等圆中，同弧所对的圆周角大于同弧所对的圆外角．要∠APB最大，只需构造过点A、点B且与直线y＝－x相切的圆，切点就是使得∠APB最大的点P，然后结合切线的性质、三角形外角的性质、勾股定理等知识即可解决问题．

（1）∠APB＜∠ACB

如图，不妨设PB交AB上方圆弧于点E，连接AE.

∵ ∠AEB是△PAE的外角

∴ ∠AEB＞∠APB

又∵ ∠AEB=∠ACB

∴ ∠APB＜∠ACB

（2）∠APB＞∠ACB，

在图中，延长BP交圆于点D，连接AD．

∵∠D=∠C，

又∵∠D＜∠APB，

∴∠APB＞∠ACB．

（3）,

在线段AB的垂直平分线上找一点Q，当以点Q为圆心、QA为半径的圆与直线y=－x相切于第四象限时，则切点即为所要确定的点P的位置.

如图，⊙Q切直线于点P，作AB的垂直平分线CQ.

设CQ的长为x，由条件可知：OA=1，OC=CE=3，

则QE=3－x，QD=，

∴

Rt△AQC中，,

∴,

解得：，显然点P在第四象限比在第二象限时∠APB更大,

∴,

∴,

∴P.