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    精英家教网 > 初中数学 > 题目详情
    如图，在平面直角坐标系中，二次函数y=ax2+bx+c的图象的顶点为D点，与y轴交于C点，与x轴交于A、B两点，A点在原点的左侧，B点的坐标为（3，0），OB=OC，tan∠ACO=
    13
    ．
    （1）求这个二次函数的表达式；
    （2）若平行于x轴的直线与该抛物线交于M、N两点，且以MN为直径的圆与x轴相切，求该圆半径的长度；
    （3）如图，若点G（2，y）是该抛物线上一点，点P是直线AG下方的抛物线上一动点，当精英家教网点P运动到什么位置时，点P到直线AG的距离最大？求出此时P点的坐标和点P到直线AG的最大距离．
    分析：（1）根据已知条件，易求得C、A的坐标，可用待定系数法求出抛物线的解析式；
    （2）根据抛物线和圆的对称性，知圆心必在抛物线的对称轴上，由于该圆与x轴相切，可用圆的半径表示出M、N的坐标，将其入抛物线的解析式中，即可求出圆的半径；（需注意的是圆心可能在x轴上方，也可能在x轴下方，需要分类讨论）
    （3）易求得AC的长，由于AC长为定值，当P到直线AG的距离最大时，△APG的面积最大．可过P作y轴的平行线，交AG于Q；设出P点坐标，根据直线AG的解析式可求出Q点坐标，也就求出PQ的长，进而可得出关于△APG的面积与P点坐标的函数关系式，根据函数的性质可求出△APG的最大面积及P点的坐标，根据此时△APG的面积和AG的长，即可求出P到直线AC的最大距离．
    解答：精英家教网解：（1）方法一：由已知得：C（0，-3），A（-1，0）
    将A、B、C三点的坐标代入得
    a-b+c=0
    9a+3b+c=0
    c=-3

    解得：
    a=1
    b=-2
    c=-3

    所以这个二次函数的表达式为：y=x2-2x-3
    方法二：由已知得：C（0，-3），A（-1，0）
    设该表达式为：y=a（x+1）（x-3）
    将C点的坐标代入得：a=1
    所以这个二次函数的表达式为：y=x2-2x-3；
    （注：表达式的最终结果用三种形式中的任一种都不扣分）

    （2）如图，
    ①当直线MN在x轴上方时，设圆的半径为R（R＞0），则N（R+1，R），
    代入抛物线的表达式，解得R=
    1+
    		17
    2
    ；
    ②当直线MN在x轴下方时，设圆的半径为r（r＞0），则N（r+1，-r），
    代入抛物线的表达式，解得r=
    -1+
    		17
    2
    ，
    ∴圆的半径为
    1+
    		17
    2
    或
    -1+
    		17
    2
    ；

    （3）过点P作y轴的平行线与AG交于点Q，
    易得G（2，-3），直线AG为y=-x-1；
    设P（x，x2-2x-3），则Q（x，-x-1），PQ=-x2+x+2；
    S△APG=S△APQ+S△GPQ=
    1
    2
    (-x2+x+2)×3=-
    3
    2
    (x-
    1
    2
    )2+
    27
    8

    当x=
    1
    2
    时，△APG的面积最大为
    27
    8
    ；
    ∵AG=3
    		2
    ，P到AG的最大距离为
    2S△APG
    AG
    =
    2×
    27
    8
    3
    		2
    =
    9
    8
    		2
    ，
    此时P点的坐标为(
    1
    2
    ，-
    15
    4
    )    ．
    点评：此题考查了二次函数解析式的确定、切线的性质、图形面积的求法等知识，综合性强，能力要求较高．考查学生数形结合的数学思想方法．
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    （1）求点B的坐标；
    （2）当∠CPD=∠OAB，且
    BD
    AB
    =
    5
    8
    ，求这时点P的坐标．

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    5
    29
    5
    29
    ．

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    5
    5
    ．

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    k
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    k
    x
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    （1）求梯形OABC的面积；
    （2）当直线CP把梯形OABC的面积分成相等的两部分时，求直线CP的解析式；
    （3）当△OCP是等腰三角形时，请写出点P的坐标（不要求过程，只需写出结果）．

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