Question

【题目】如图，已知点E，F分别是ABCD的边BC，AD上的中点，且∠BAC=90°．
（1）求证：四边形AECF是菱形；
（2）若∠B=30°，BC=10，求菱形AECF面积．

Answer 1

【答案】
（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AD=BC，

在Rt△ABC中，∠BAC=90°，点E是BC边的中点，

∴AE= BC=CE，

同理，AF= AD=CF，

∴AE=CE=AF=CF，

∴四边形AECF是菱形

（2）解：连接EF交AC于点O，如图所示：

在Rt△ABC中，∠BAC=90°，∠B=30°，BC=10，

∴AC= BC=5，AB= AC=5 ，

∵四边形AECF是菱形，

∴AC⊥EF，OA=OC，

∴OE是△ABC的中位线，

∴OE= AB= ，

∴EF=5 ，

∴菱形AECF的面积= ACEF= ×5×5 = ．

【解析】（1）由平行四边形的性质得出AD=BC，由直角三角形斜边上的中线性质得出AE= BC=CE，AF= AD=CF，得出AE=CE=AF=CF，即可得出结论；（2）连接EF交AC于点O，解直角三角形求出AC、AB，由三角形中位线定理求出OE，得出EF，菱形AECF的面积= ACEF，即可得出结果．