Question

【题目】在△ABC中，∠A=90°，点D在线段BC上，∠EDB= ∠C，BE⊥DE，垂足E，DE与AB相交于点F．
（1）当AB=AC时，（如图1），

① ∠EBF=°；
②求证：BE= 1 2 FD；
（2）当AB=kAC时（如图2），求 的值（用含k的式子表示）．

Answer 1

【答案】
（1）22.5,解：作DG∥AC交BE的延长线于G,则∠BDG=∠C=45°,又∠EDB= ∠C,∴∠EDB=∠EDG,在△EDB和△EDG中,,∴△EDB≌△EDG,∴BE=EG= BG,∵∠BDG=∠C=45°,∴HB=HD,∵∠BEF=∠DHF=90°,∴∠HBG=∠HDF,在△BHG和△DHF中,,∴△BHG≌△DHF,∴DF=BG,∴BE= FD
（2）解：由（1）得，BE=EG= BG，

∵DG∥AC，

∴ = =k，

∵∠HBG=∠HDF，∠BHG=∠DHF=90°，

∴△BHG∽△DHF，

∴ = =k，

∴ =

【解析】解：（1）①∵∠A=90°，AB=AC，

∴∠ABC=∠C=45°，

∴∠EDB= ∠C=22.5°，又BE⊥DE，

∴∠EBD=90°﹣22.5°=67.5°，

∴∠EBF=67.5°﹣45°=22.5°，

所以答案是：22.5；

【考点精析】关于本题考查的等腰三角形的性质和相似三角形的判定与性质，需要了解等腰三角形的两个底角相等（简称：等边对等角）；相似三角形的一切对应线段(对应高、对应中线、对应角平分线、外接圆半径、内切圆半径等）的比等于相似比；相似三角形周长的比等于相似比；相似三角形面积的比等于相似比的平方才能得出正确答案．