Question

【题目】如图，点O是△ABC的边AB上一点，⊙O与半径AC相切于点E，与边BC、AB分别相交于点D、F，且DE=EF.

⑴求证：∠C=90o；

⑵当BC=2，sinA=时，求AF的长.

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）.

【解析】

（1）如图，连接OE，BE，通过对等弦、对等弧、对等圆周角以及等量转化找到∠OEB与∠DBE相等，再运用切线和平行线的定理即可解答

（2）先求出AB的长度，再通过解Rt△AOE求出半径长度，最后求出AF的长度.

解：（1）连接OE，BE，

∵DE＝EF，∴ ;

∴∠OBE＝∠DBE.

∵OE＝OB，∴∠OEB＝∠OBE.

∴∠OEB＝∠DBE.

∴OE∥BC.

∵⊙O与边AC相切于点E，∴OE⊥AC.

∴∠AEO＝90°.

∴∠C＝∠AEO＝90°

（2）在△ABC，∠C＝90°，BC＝2，sinA＝，∴AB＝5.

设⊙O的半径为r，则AO＝5﹣r，

在Rt△AOE中，sinA＝＝，∴r＝.

∴AF＝5﹣2×＝.