Question

如图，当x=2时，抛物线取得最小值－1，并且与y轴交于点C（0，3），与x轴交于点A、B（A在B的右边）。

（1）求抛物线的解析式；
（2）D是线段AC的中点，E为线段AC上的一动点（不与A,C重合），过点E作y轴的平行线EF与抛物线交于点F。问：是否存在△DEF与△AOC相似？若存在，求出点E的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）在抛物线的对称轴上是否存在点P，使得△APD为等腰三角形？若存在，请直接写出点p的坐标；若不存在，请说明理由。

Answer 1

（1）；（2）或；（3）

试题分析：（1）已知，当x=2时，抛物线的最小值为-1，因此抛物线的顶点坐标为（2，-1）；可用顶点式来设抛物线的解析式，然后将C的坐标代入即可求出抛物线的解析式．
（2）由于EF∥OC，那么∠FED=45°，因此要使三角形EFD与三角形COA相似，只有两种情况：当D为直角顶点时，∠EDF=90°，由于D是AC中点，而FD⊥AC，三角形AOC又是个等腰直角三角形，因此DF正好在∠COA的平分线上，即DF在直线y=x上，此时可先求出直线AC的函数关系式，然后联立抛物线的解析式求出F的坐标，由于E、F的横坐标相同，将F的横坐标代入AC所在的直线的解析式中即可求出E点的坐标．
（3）当F为直角顶点时，∠EFD=90°，那么DF与三角形AOC的中位线在同一直线上，即DF所在的直线的解析式为y=2，然后可根据（2）的方法求出p点的坐标．
（1）由题意可设抛物线的关系式为
y=a（x-2）²-1
因为点C（0，3）在抛物线上
所以3=a（0-2）²-1，即a=1
所以，抛物线的关系式为；
（2）令y=0，即x²-4x+3=0，
得点A（3，0），B（1，0），线段AC的中点为D（，）
直线AC的函数关系式为y=-x+3
因为△OAC是等腰直角三角形，
所以，要使△DEF与△AOC相似，△DEF也必须是等腰直角三角形．
由于EF∥OC，因此∠DEF=45°，
所以，在△DEF中只可能以点D、F为直角顶点．
当F为直角顶点时，DF⊥EF，此时△DEF∽△ACO，DF所在直线为y=


当D为直角顶点时，DF⊥AC，此时△DEF∽△OAC，由于点D为线段AC的中点，
因此，DF所在直线过原点O，其关系式为y=x．


当∠DFE=90°时，E₁，当∠EDF=90°时，E₂；
（3）

点评：解题的关键是要注意的是（3）中在不确定△EDF的直角顶点的情况下要分类进行讨论，不要漏解．