Question

17．点C，D分别是△ABO的边AO，BO 延长线上的点，AB的延长线交DC于点E
（1）如图（1），若∠BOA=90°，BO=AO，AC=BD
①求证：CE=DE；
②若OC=2AO，直接写出sin∠AEO的值；
（2）如图（2），若BE=DE，$\frac{AO}{OC}$=$\frac{2}{3}$，AB=4，求DC的长．

Answer 1

分析 （1）①过C作CF∥OD交AE的延长线于F，于是得到△CFA是等腰直角三角形，求得CF=AC，根据全等三角形的性质即可得到结论；
②设AO=x，则CO=2x，BD=AC=3x，求得OD=4x．根据勾股定理得到CD=2$\sqrt{5}$x，过O作OH⊥AB于H，则OH=$\frac{\sqrt{2}}{2}$x，根据三角函数的定义即刻得到结论；
（2）过C作CF∥OD，交AE的延长线于F，根据平行线分线段成比例定理得到$\frac{AO}{CO}$=$\frac{AB}{BF}$，求得BF=6，根据等腰三角形的性质得到CE=EF，于是得到结论．

解答 解：（1）①过C作CF∥OD交AE的延长线于F，
∵∠BOA=90°，
∴CF⊥AC，
∵BO=AO，
∴∠A=45°，
∴△CFA是等腰直角三角形，
∴CF=AC，
∵AC=BD，
∴CF=BD，
∵∠1=∠D，∠2=∠F，
在△BED和△FEC中，$\left\{\begin{array}{l}{∠D=∠1}\\{BD=CF}\\{∠2=∠F}\end{array}\right.$，
∴△BED≌△FEC，
∴CE=DE；
②设AO=x，则CO=2x，BD=AC=3x，
∴OD=4x．
∴CD=2$\sqrt{5}$x，
过O作OH⊥AB于H，则OH=$\frac{\sqrt{2}}{2}$x，由①知CE=DE，
∴OE=$\frac{1}{2}$CD=$\sqrt{5}$x，
∴sin∠AEO=$\frac{OH}{OE}$=$\frac{\frac{\sqrt{2}}{2}x}{\sqrt{5}x}$=$\frac{\sqrt{10}}{10}$；
（2）过C作CF∥OD，交AE的延长线于F，
∵CF∥OD，
∴$\frac{AO}{CO}$=$\frac{AB}{BF}$，
∴$\frac{2}{3}$=$\frac{4}{BF}$，
∴BF=6，
∵∠1=∠D，∠2=∠F，
∵BE=DE，
∴∠2=∠D，
∴∠1=∠F，
∴CE=EF，
∴DC=CE+EB=BF=6．

点评 本题主要考查了等腰直角三角形的判定和性质，全等三角形的判断和性质，相似三角形的判定和性质，三角函数的定义，正确作出辅助线CF是解决问题的关键．