Question

已知：抛物线与x轴交于点A、B（A左B右），其中点B的坐标为（7，0），设抛物线的顶点为C．

（1）求抛物线的解析式和点C的坐标；
（2）如图1，若AC交y轴于点D，过D点作DE∥AB交BC于E．点P为DE上一动点，PF⊥AC于F，PG⊥BC于G．设点P的横坐标为a，四边形CFPG的面积为y，求y与a的函数关系式和y的最大值；
（3）如图2，在条件（2）下，过P作PH⊥x轴于点H，连结FH、GH，是否存在点P，使得△PFH与△PHG相似？若存在，求出P点坐标；若不存在，说明理由．

Answer 1

（1），C（3，4）；（2），当时，y最大值=
（3）（3，1）或（，1）或（，1）

试题分析：（1）由题意把点B的坐标（7，0）代入抛物线即可得到抛物线的解析式，再根据抛物线的顶点坐标公式（，）即可求得顶点C的坐标；
（2）由DE∥AB，再结合PF⊥AC于F，PG⊥BC于G，可得四边形CFPG为矩形，根据矩形的性质及二次函数的解析式即可求得y与a的函数关系式，从而可以求得y的最大值；
（3）根据相似三角形的性质：相似三角形的对应边的比等于相似比，求解即可，要注意分情况讨论.
试题解析：（1）∵抛物线过点B（7，0）
∴，解得
∴抛物线的解析式为，
∵，
∴顶点C的坐标为（3，4）；
（2）由题意得四边形CFPG为矩形，
∴，
当时，y最大值=
（3）（3，1）或（，1）或（，1）.