Question

(满分l6分)如图5—9，已知点O为坐标原点，∠AOB=30°，∠ABO=90°，且点A的坐标为(2，0)。
(1)求点B的坐标；
(2)若二次函数y=ax²+bx+c的图象经过A，B，O三点，求此二次函数的解析式；
(3)在(2)中的二次函数图象的OB段(不包括点O，B)上，是否存在一点C，使得四边形ABCO的面积最大?若存在，求出这个最大值及此时点C的坐标；若不存在，请说明理由。

Answer 1

解：(1)在Rt△OAB中，∵∠AOB=30°，∴OB=.过点B作x
轴的垂线BD，垂足为D，如图D5—4所示．则OD=，BD=，∴点
B的坐标为(，)．                              ……2分
(2)将A(2，0)，B(，)，O(0，0)三点的坐标代入y=ax²+bx+c，得
     4a+2b+c
a+b+c=，                               ……4分
c=0．
解方程组，得a=一，b=．c="0                " ……5分
∴所求二次函数解析式是y=一x² +x．         ……6分
(3)设存在点c(x，一x² +x)(其中0<x<)，使四边形ABCO面积最大．
∵△OAB面积为定值，即S_△OAB=OA·BD=．
∴只要△OBC面积最大，四边形ABCO面积就最大．                 ……8分
如图D5—4，过点C作x轴的垂线CE，垂足为点E，交OB于点F，则
S_△OBC=S_△OCF+S_△BCF=︱CF︱·︱OE︱+︱CF︱·︱ED︱=︱CF︱·︱OD︱=︱CF︱．                                                           ……9分
而︱CF︱=y_C-y_F=-x²+x-x=-x²+x，
∴S_△OBC=- x²+x=-(x-)²+．                    ……12分
∴当x=时，△OBC最大面积, 最大面积为．                  ……l4分
此时，点C坐标为(，)，四边形ABCO的面积为．      ……16分

解析