Question

5．已知α、β是方程x²-3x+1=0的两根，且α＞β，则α⁴+$\frac{3}{β}$=$\frac{33\sqrt{5}}{2}$+$\frac{79}{2}$．

Answer 1

分析 首先根据α、β是方程x²-3x+1=0的两根得到α²-3α+1=0，进而求出α和β的值，然后化简α⁴=Ვα²=（3α-1）（3α-1）=9α²-1=27α-10，最后代值计算．

解答 解：∵α、β是方程x²-3x+1=0的两根，
∴α²-3α+1=0，
∴α=$\frac{3+\sqrt{5}}{2}$，β=$\frac{3-\sqrt{5}}{2}$，
∵α⁴=Ვα²=（3α-1）（3α-1）=9α²-1=27α-10，
∴α⁴+$\frac{3}{β}$=27α-10+$\frac{3}{β}$=$\frac{27（3+\sqrt{5}）}{2}-10+\frac{6}{3-\sqrt{5}}$=$\frac{79+33\sqrt{5}}{2}$，
故答案为$\frac{79+33\sqrt{5}}{2}$．

点评 本题主要考查了根与系数的关系以及一元二次方程的解的知识，解答本题的关键是得到α⁴=Ვα²=（3α-1）（3α-1）=9α²-1=27α-10，此题难度不大．