Question

【题目】已知：在Rt△ABC中，∠B=90°，∠ACB=30°，点D为BC边上一动点，以AD为边，在AD的右侧作等边三角形ADE．

（1）当AD平分∠BAC时，如图1，四边形ADCE是　　　　形；

（2）过E作EF⊥AC于F，如图2，求证：F为AC的中点；

（3）若AB=2，

①当D为BC的中点时，过点E作EG⊥BC于G，如图3，求EG的长；

②点D从B点运动到C点，则点E所经过路径长为　　　　．(直接写出结果)

Answer 1

【答案】（1）菱形；（2）证明见解析；（3）①EG；②2．

【解析】

（1）根据平行四边形的判定定理得到四边形ADCE为平行四边形，证明AD=AE，根据菱形的判定定理证明结论；

（2）证明△BAD≌△FAE，根据全等三角形的性质得到AB=AF，根据直角三角形的性质得到AC=2AB，证明结论；

（3）①作EF⊥AC于F，连接EC，根据勾股定理求出BC，根据等腰三角形的性质求出CG，根据勾股定理计算，得到答案； ②根据线段垂直平分线的判定定理得到E'E'垂直平分AC，证明△E'AE'≌△BAC，得到E'E'=BC=．

解：（1）在Rt△ABC中，∠B=90°，∠ACB=30°，

∴∠BAC=60°．

∵AD平分∠BAC，

∴∠BAD=∠DAC=30°．

∵△ADE为等边三角形，

∴∠DAE=60°，

∴∠EAC=30°，

∴∠EAC=∠ACB，∠DAC=∠ACB，

∴AE∥DC，AD=DC．

∵AE=AD，∴AE=CD，

∴四边形ADCE为平行四边形．

∵AD=AE，

∴平行四边形ADCE为菱形．

故答案为：菱形；

（2）

在△BAD和△FAE中，

，

∴△BAD≌△FAE(AAS)，

∴AB=AF，

在Rt△ABC中，∠B=90°，∠ACB=30°，

∴AC=2AB，

∴AC=2AF，

∴F为AC的中点；

（3）①如图3，作EF⊥AC于F，连接EC，

在Rt△ABC中，∠B=90°，∠ACB=30°，

∴AC=2AB=4，

∴BC2，

∵D为BC的中点，

∴BDBC，

∴AD，

∵AF=FC，EF⊥AC，

∴EC=AE=AD，

∵EC=EA=ED，EG⊥DC，

∴CGCD，

∴EG；

②如图4，当点D与点B重合时，点E在E'处，点E'是AC中点；

当点D与点C重合时，点E在E'处，其中△ACE'是等边三角形，

由（1）得：AE=CE，∴点E始终落在线段AC的垂直平分线上，

∴E'E'垂直平分AC，

∴点E的运动路径是从AC的中点E'，沿着AC垂直平分线运动到E'处，

在△E'AE'和△BAC中，

，

∴△E'AE'≌△BAC(AAS)，

∴E'E'=BC=2．

故答案为：2．