Question

阅读并解答：
①方程x²-2x+1=0的根是x₁=x₂=1，则有x₁+x₂=2，x₁x₂=1．
②方程2x²-x-2=0的根是x₁=，x₂=，则有x₁+x₂=，x₁x₂=-1．
③方程3x²+4x-7=0的根是x₁=-，x₂=1，则有x₁+x₂=-，x₁x₂=-．
（1）根据以上①②③请你猜想：如果关于x的一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）有两个实数根为x₁，x₂，那么x₁，x₂与系数a、b、c有什么关系？请写出你的猜想并证明你的猜想；
（2）利用你的猜想结论，解决下面的问题：
已知关于x的方程x²+（2k+1）x+k²-2=0有实数根x₁，x₂，且x₁²+x₂²=11，求k的值．

Answer 1

【答案】分析：（1）由①②③中两根之和与两根之积的结果可以看出，两根之和正好等于一次项系数与二次项系数之比的相反数，两根之积正好等于常数项与二次项系数之比．
（2）欲求k的值，先把代数式x₁²+x₂²变形为两根之积或两根之和的形式，然后与两根之和公式、两根之积公式联立组成方程组，解方程组即可求k值．
解答：解：（1）猜想为：设ax²+bx+c=0（a≠0）的两根为x₁、x₂，则有，．
理由：设x₁、x₂是一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的两根，
那么由求根公式可知，，．
于是有，，
综上得，设ax²+bx+c=0（a≠0）的两根为x₁、x₂，则有，．

（2）x₁、x₂是方程x²+（2k+1）x+k²-2=0的两个实数根
∴x₁+x₂=-（2k+1），x₁x₂=k²-2，
又∵x₁²+x₂²=x₁²+x₂²+2x₁x₂-2x₁x₂=（x₁+x₂）²-2x₁x₂
∴[-（2k+1）]²-2×（k²-2）=11
整理得k²+2k-3=0，
解得k=1或-3，
又∵△=[-（2k+1）]²-4（k²-2 ）≥0，解得k≥-，
∴k=1．
点评：本题考查了学生的总结和分析能力，善于总结，善于发现，学会分析是学好数学必备的能力．
将根与系数的关系与代数式变形相结合解题是一种经常使用的解题方法．