Question

9．如图，在四边形ABCD中，AB=CD，E、F、G、H分别为AD、BC、BD、AC的中点，顺次连接E、G、F、H．
（1）求证：四边形EGFH是菱形．
（2）当∠ABC与∠DCB满足什么关系时，四边形EGFH为正方形，并说明理由．
（3）猜想：∠GFH、∠ABC、∠DCB三个角之间的关系．（直接写出结果）

Answer 1

分析 （1）根据三角形中位线的性质得到EG=$\frac{1}{2}$AB，EH=$\frac{1}{2}$CD，HF=$\frac{1}{2}$AB，EG∥AB，HF∥AB，根据菱形的判定定理即可得到结论；
（2）根据平行线的性质得到∠ABC=∠HFC，∠DCB=∠GFB，根据平角的定义得到∠GFH=90°，于是得到结论；
（3）由平行线的性质得到∠ABC=∠HFC，∠DCB=∠GFB，根据平角的定义即可得到结论．

解答 解：（1）∵E、F、G、H分别为AD、BC、BD、AC的中点，
∴EG=$\frac{1}{2}$AB，EH=$\frac{1}{2}$CD，HF=$\frac{1}{2}$AB，EG∥AB，HF∥AB，
∴四边形EGFH是平行四边形，EG=EH，
∴四边形EGFH是菱形；
（2）当∠ABC+∠DCB=90°时，四边形EGFH为正方形，
理由：∵GF∥CD，HF∥AB，
∴∠ABC=∠HFC，∠DCB=∠GFB，
∵∠ABC+∠DCB=90°，
∴∠GFH=90°，
∴菱形EGFH是正方形；
（3）∠GFH+∠ABC+∠DCB=180°，
理由：∵GF∥CD，HF∥AB，
∴∠ABC=∠HFC，∠DCB=∠GFB，
∵∠BFG+∠GFH+∠HFC=180°，
∴∠GFH+∠ABC+∠DCB=180°．

点评 本题考查了中点四边形，菱形的判定和性质，正方形的判定，三角形中位线的性质，熟练掌握三角形中位线的性质是解题的关键．