【题目】如图,已知等腰三角形ABC的底角为30°,以BC为直径的⊙O与底边AB交于点D,过D作DE⊥AC,垂足为E.
(1)证明:DE为⊙O的切线;
(2)若BC=4,求阴影部分的面积.
【答案】(1)证明见解析(2)
【解析】
(1)连接OD,CD,由以BC为直径的⊙O,可得∠BDC=90°,又由等腰△ABC的底角为30°,可得AD=BD,即可证得OD∥AC,继而可证得结论;(2)根据三角函数的性质,求得CD、CE、DE的长,根据S阴=S四边形ODEC﹣S扇形ODC即可求得阴影部分的面积.
(1)证明:连接OD,CD,
∵BC为⊙O直径,
∴∠BDC=90°,
∵△ABC是等腰三角形,
∴AD=BD,
∵OB=OC,
∴OD∥AC,
∵DE⊥AC,
∴OD⊥DE,
∴DE为⊙O的切线;
(2)∵∠A=∠B=30°,BC=4,
∴CD=BC=2,CE=CD=1,DE=CDcos30°=,
∴S阴=S四边形ODEC﹣S扇形ODC=(1+2)×﹣=﹣.
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【题目】某学校开展“青少年科技创新比赛”活动,“喜洋洋”代表队设计了一个遥控车沿直线轨道AC做匀速直线运动的模型.甲、乙两车同时分别从A,B出发,沿轨道到达C处,在AC上,甲的速度是乙的速度的1.5倍,设t分后甲、乙两遥控车与B处的距离分别为d1,d2(单位:米),则d1,d2与t的函数关系如图,试根据图象解决下列问题.
(1)填空:乙的速度v2=________米/分;
(2)写出d1与t的函数表达式;
(3)若甲、乙两遥控车的距离超过10米时信号不会产生相互干扰,试探究什么时间两遥控车的信号不会产生相互干扰?
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【题目】某电商销售某品牌手表,其成本为每件80元,售价为m元(80<m<240).9月份的销售量为m件,10月份电商对该手表的售价做了调整,在9月份售价的基础上打9折销售,结果销售量增加了50件,销售额增加了5000元.(销售额=销售量×售价)
(1)求该电商9月份销售该品牌手表的销售单价.
(2)11月11日“双十一购物节”,该电商在9月份售价的基础上打折促销(但不亏本),销售的数量y(件)与打折的折数x满足一次函数y=-50x+600.问电商打几折时利润最大,最大利润是多少?
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【题目】有下列五个命题:①如果,那么;②内错角相等;③垂线段最短;④带根号的数都是无理数;⑤三角形的一个外角大于任何一个内角.其中真命题的个数为( )
A.1B.2C.3D.4
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【题目】如图,已知:关于x的二次函数的图象与x轴交于点A(1,0)和点B,与y轴交于点C(0,3),抛物线的对称轴与x轴交于点D.
(1)求二次函数的表达式;
(2)在y轴上是否存在一点P,使△PBC为等腰三角形.若存在,请求出点P的坐标;
(3)有一个点M从点A出发,以每秒1个单位的速度在AB上向点B运动,另一个点N从点D与点M同时出发,以每秒2个单位的速度在抛物线的对称轴上运动,当点M到 达点B时,点M、N同时停止运动,问点M、N运动到何处时,△MNB面积最大,试求出最大面积.
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【题目】我们知道:“两边及其中一边的对角分别相等的两个三角形不一定全等”.但是,小亮发现:当这两个三角形都是锐角三角形时,它们会全等,除小亮的发现之外,当这两个三角形都是 时,它们也会全等;当这两个三角形其中一个三角形是锐角三角形,另一个是 时,它们一定不全等.
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【题目】在如图所示的正方形网络中,每个小正方形的边长为1,格点三角形(顶点是网络的交点的三角形)ABC的顶点A,C的坐标分别为(﹣4,5),(﹣1,3).
(1)请在如图所示的网格平面内作出平面直角坐标系;
(2)请作出△ABC关于y轴对称的△A1B1C1;
(3)点B关于x轴的对称点B2的坐标是 ;
(4)△ABC的面积为 .
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【题目】四边形ABCD的对角线AC将其分割成两个三角形:
(1)如图1.若∠BAC=∠DAC,AB>AD,求证:AB-AD>CB-CD.
(2)如图2.若∠ACD+∠BAC=180°,∠B=∠D,求证:BC=AD.
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【题目】如图,在平面直角坐标系中,将坐标原点O沿x轴向左平移2个单位长度得到点A,过点A作y轴的平行线交反比例函数y=的图象于点B,AB=.
(1)求反比例函数的解析式;
(2)若P(x1,y1)、Q(x2,y2)是该反比例函数图象上的两点,且x1<x2时,y1>y2,指出点P、Q各位于哪个象限?并简要说明理由.
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