Question

如图，对称轴为直线x=-2的抛物线经过A（-3，0）和B（0，-3）．
（1）求抛物线解析式；
（2）设点D（m，n）是抛物线上一动点，且位于第二象限，四边形ODAE是以OA为对角线的平行四边形．
①当四边形ODAE的面积为

9

4

时，请判断四边形ODAE是否为菱形？并说明理由；
②当点E也刚好落在抛物线上时．求m的值；
（3）设抛物线与x轴另一交点为C，抛物线上是否存在点P，使得△PBC为直角三角形？若存在，直接写出点P坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）用待定系数法设抛物线的解析式为：y=a（x+2）²+k，将点的坐标代入解析式就可以求出其解析式．
（2）①根据四边形的面积等于2倍的△ADO的面积等于

9

4

，求出△ADO，AO边上的高，就可以求出其横坐标m．根据m的值就可以判断是否为菱形．
②当点刚好落在抛物线上时，作DG⊥OA、EH⊥OA垂足分别为G、H，设出点E的坐标，就可以把点D的坐标用含E点坐标的字母表示出来利用DG=EH建立等量关系就可以求出m的值．
（3）分两种情况，当∠PCB=90°或当∠PBC=90°时利用三角形相似线段成比例表示出限度的关系，从而求出点P的坐标．

解答：解：（1）设抛物线的解析式为：y=a（x+2）²+k，由题意，得

0=a(-3+2)2+k -3=a(0+2)2+k

，解得

a= -1 k=1

∴抛物线的解析式为：y=-（x+2）²+1

（2）①∵A（-3，0），
∴OA=3，设四边形ODAE的面积为

9

4

时，D点的坐标为（m，-（m+2）²+1）
∴

3×[-(m+2)2+1]

2

×2=

9

4

解得：m₁=-

3

2

，m₂=-

5

2

当m₁=-

3

2

时，则
|m₁|=|-

3

2

|=

3

2

∴四边形ODAE是菱形．
当m₂=-

5

2

时，则
|m₂|=|-

5

2

|≠

3

2

∴四边形ODAE不是菱形．
②作DG⊥OA、EH⊥OA垂足分别为G、H，
∵D（m，n）
∴OG=-m
设E（a，b），则OH=-a，E（a，-（a+2）²+1）
∴OG=AO-AG=AO-OH=3-（-a）=3+a
m=-3-a
∴D（-3-a，n）
∴n=-（-3-a+2）²+1
∴-（-3-a+2）²+1+[-（a+2）²+1]=0
解得a₁=

-3+ 3

2

，a₂=

-3- 3

2

∴m₁=

-3- 3

2

，m₂=

-3+ 3

2

∵D（m，n）位于第二象限，
∴-3≤m≤-1
∴m=

-3- 3

2

（3）∵抛物线的解析式为：y=-（x+2）²+1，
∴当y=0时，
-（x+2）²+1=0
∴x₁=-1，x₂=-3
∴C（-1，0）
当∠PCB=90°时，作PG⊥OA于G，
∴∠PGC=90
∴∠1+∠2=90°，
∵∠2+∠3=90°
∴∠1=∠3
∴△CGP∽△BOC，
∴

PG

CG

=

OC

OB

=

1

3

∴CG=3PG，设这时P（e，f）
∴f=-（e+2）²+1，
∴

-e-1

-[-(e+2)2+1]

=3，解得
e1=-1（不符合题意），e2=-

10

3

∴f=-

7

9

∴P（-

10

3

，-

7

9

）
当∠PBC=90°时，作PH⊥BC于H，
∴△PBH∽△BCO
∴

BH

PH

=

1

3

∴PH=3BH，
设BH=-t，则PH=-3t，
∴P（3t，-（3t+2）²+1）
∴-[-（3t+2）²+1）]=3-t，
解得：t1=0（不符合题意），t2=-

13

9

∴P（-

13

3

，-

40

9

）．
故P点的坐标为（-

10

3

，-

7

9

）或（-

13

3

，-

40

9

）．

点评：本题是一道二次函数的综合试题，考查了利用待定系数法求函数的解析式，平行四边形的性质，菱形的性质及判定的运用，相似三角形的判定及性质．