Question

【题目】如图1，抛物线y=﹣ [（x﹣2）2+n]与x轴交于点A（m﹣2，0）和B（2m+3，0）（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，连结BC．

（1）求m、n的值；
（2）如图2，点N为抛物线上的一动点，且位于直线BC上方，连接CN、BN．求△NBC面积的最大值；
（3）如图3，点M、P分别为线段BC和线段OB上的动点，连接PM、PC，是否存在这样的点P，使△PCM为等腰三角形，△PMB为直角三角形同时成立？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】
（1）

解：∵抛物线的解析式为y=﹣ [（x﹣2）2+n]=﹣ （x﹣2）2﹣ n，

∴抛物线的对称轴为直线x=2，

∵点A和点B为对称点，

∴2﹣（m﹣2）=2m+3﹣2，解得m=1，

∴A（﹣1，0），B（5，0），

把A（﹣1，0）代入y=﹣ [（x﹣2）2+n]得9+n=0，解得n=﹣9

（2）

解：作ND∥y轴交BC于D，如图2，

抛物线解析式为y=﹣ [（x﹣2）2﹣9]=﹣ x2+ x+3，

当x=0时，y=3，则C（0，3），

设直线BC的解析式为y=kx+b，

把B（5，0），C（0，3）代入得 ，解得 ，

∴直线BC的解析式为y=﹣ x+3，

设N（x，﹣ x2+ x+3），则D（x，﹣ x+3），

∴ND=﹣ x2+ x+3﹣（﹣ x+3）=﹣ x2+3x，

∴S△NBC=S△NDC+S△NDB= 5ND=﹣ x2+ x=﹣（x﹣ ）2+ ，

当x= 时，△NBC面积最大，最大值为

（3）

解：存在．

∵B（5，0），C（0，3），

∴BC= = ，

当∠PMB=90°，则∠PMC=90°，△PMC为等腰直角三角形，MP=MC，

设PM=t，则CM=t，MB= ﹣t，

∵∠MBP=∠OBC，

∴△BMP∽△BOC，

∴ = = ，即 = = ，解得t= ，BP= ，

∴OP=OB﹣BP=5﹣ = ，

此时P点坐标为（ ，0）；

当∠MPB=90°，则MP=MC，

设PM=t，则CM=t，MB= ﹣t，

∵∠MBP=∠CBO，

∴△BMP∽△BCO，

∴ = = ，即 = = ，解得t= ，BP= ，

∴OP=OB﹣BP=5﹣ = ，

此时P点坐标为（ ，0）；

综上所述，P点坐标为（ ，0）或（ ，0）．

【解析】（1）利用抛物线的解析式确定对称轴为直线x=2，再利用对称性得到2﹣（m﹣2）=2m+3﹣2，解方程可得m的值，从而得到A（﹣1，0），B（5，0），然后把A点坐标代入y=﹣ [（x﹣2）2+n]可求出n的值；（2）作ND∥y轴交BC于D，如图2，利用抛物线解析式确定C（0，3），再利用待定系数法求出直线BC的解析式为y=﹣ x+3，设N（x，﹣ x2+ x+3），则D（x，﹣ x+3），根据三角形面积公式，利用S△NBC=S△NDC+S△NDB可得S△BCN=﹣ x2+ x，然后利用二次函数的性质求解；（3）先利用勾股定理计算出BC= ，再分类讨论：当∠PMB=90°，则∠PMC=90°，△PMC为等腰直角三角形，MP=MC，设PM=t，则CM=t，MB= ﹣t，证明△BMP∽△BOC，利用相似比可求出BP的长，再计算OP后可得到P点坐标；当∠MPB=90°，则MP=MC，设PM=t，则CM=t，MB= ﹣t，证明△BMP∽△BCO，利用相似比可求出BP的长，再计算OP后可得到P点坐标．本题考查了二次函数的综合题：熟练掌握二次函数图象上点的坐标特征和二次函数的性质；会运用待定系数法求函数解析式；理解坐标与图形的性质；掌握相似三角形的判定，能运用相似比计算线段的长或表示线段之间的关系；学会运用分类讨论的思想解决数学问题．
【考点精析】本题主要考查了二次函数的性质和比例线段的相关知识点，需要掌握增减性：当a>0时，对称轴左边，y随x增大而减小；对称轴右边，y随x增大而增大；当a<0时，对称轴左边，y随x增大而增大；对称轴右边，y随x增大而减小；如果选用同一长度单位量得两条线段a，b的长度分别为m，n，那么就说这两条线段的比是a/b=m/n，或写成a：b=m：n才能正确解答此题．