Question

5．两个大小相同的等腰直角三角板ABC和EFG（直角边长均为2），如图（1）摆放，且三角板EFG的直角顶点G与三角板ABC斜边中点O重合，将三角板EFG绕着O（G）旋转至图（2）所示的位置．

（1）如图（2），连接OC，则△OCD与△OBP全等吗？为什么？
（2）两个三角板重叠部分四边形ODCP（即阴影部分）的面积是多少？请说明理由．

Answer 1

分析 （1）证明OC=OB，∠1=∠B=45°，∠2=∠3，根据ASA证明△COD≌△BOP；
（2）根据等积代换，S_{四边形ODCP}=S_△BOC即可计算．

解答 解：（1）∵O是等腰Rt△ABC斜边的中点，
∴OC=OB，∠BOC=90°，∠1=∠B=45°，
又∵三角板EFG的直角顶点G与三角板ABC斜边中点O重合，
∴∠EOF=90°，
∴∠2+∠COF=∠3+∠COF=90°，
∴∠2=∠3，
在△COD和△BOP中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠2=∠3}\\{OC=OB}\\{∠1=∠B}\end{array}\right.$，
∴△COD≌△BOP（ASA）；
（2）∵△COD≌△BOP，
∴S_{四边形ODCP}=S_△COD+S_△COP=S_△BOP+S_△COP=S_△BOC，
∵BC=2，
∴OB=OC=$\sqrt{2}$，
∴S_{四边形ODCP}=S_△BOC=$\frac{1}{2}$OB²=$\frac{1}{2}$×（$\sqrt{2}$）²=1．

点评 本题主要考查了全等三角形的判定与性质以及等积变形，证明△COD≌△BOP是解决问题的关键．