Question

如图，在矩形ABCD中，点E是AD边上一点，点F是CB延长线上一点，连接EF交AB于点G，且DE=BF．AE的垂直平分线MN交AE于点N、交EF于点M．若∠AFG=2∠BFG=45°，AF=2．
（1）求证：AF=CE；
（2）求△CEF的面积．

Answer 1

考点：矩形的性质,全等三角形的判定与性质,线段垂直平分线的性质

专题：

分析：（1）证得△ABF和△CDE全等后即可证得AF=CE；
（2））连接AM，得到∠FAM=∠CEF=90°，根据AM=2求得MF=2

2

，从而求得EF=MF+EM=2

2

+2，由此可以得到△CEF的面积=

1

2

CE•EF=

1

2

×2×（2

2

+2）=2

2

+2．

解答：解：（1）证明：∵四边形BCD是矩形，
∴AB=CD，∠ADC=∠ABC，
∵点F在BC的延长线上，
∴∠ABC=∠ABF，
∴ADC=∠ABF，
在△ABF和△CDE中

AB=CD ∠ABF=∠EDC BF=DE

∴△ABF≌△CDE（SAS），
∴AF=CE

（2）连接AM，
∵MN是AE的垂直平分线，
∴AM=EM，
∴∠AEM=∠MAE=

1

2

∠AMF，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，
∴∠AEM=∠BFG，
∴∠AEM=∠BFG=

1

2

∠AMF
∵∠AFG=2∠BFG=45°，
∴∠BFG=

1

2

∠AFG=22.5°，
∴∠AMF=∠AFM=45°，∠MEA=∠BFE=22.5°，∠CED=∠AFB=67.5°
∴AM=AF，∠FAM=∠CEF=90°，
∵AM=2，
∴AF=AM=CE=EM=2，MF=2

2

∴EF=MF+EM=2

2

+2
∴△CEF的面积=

1

2

CE•EF=

1

2

×2×（2

2

+2）=2

2

+2

点评：本题考查了矩形的性质全等三角形的判定与性质及线段的垂直平分线的性质，考查的知识点比较多，难度较大．