Question

如图，在△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，BC=1，将另外一个含30°角的△EDF的30°角的顶点D放在AB边上，E、F分别在AC、BC上，当点D在AB边上移动时，DE始终与AB垂直．
（1）设AD=x，CF=y，求y与x之间的函数解析式，并写出函数自变量的取值范围；
（2）如果△CEF与△DEF相似，求AD的长．

Answer 1

分析：（1）由于∠EDF=30°，且DE总垂直于AB，因此∠FDB=60°，此时发现△FDB是等边三角形，那么BF=BD，可分别用x、y表示出BD、BF的长，根据上面的等量关系即可得到y、x的函数关系式；求x的取值范围时，可参照两个条件：①y≥0，②若E在AC上，那么y值最大时，E点与C点重合，可据此求出x的最大值；
（2）由于∠C是直角，当△CEF与△DEF相似时，△DEF必为直角三角形，那么可分两种情况讨论：
①∠DEF=90°，此时，△CEF∽△DEF；②∠DFE=90°，此时△CEF∽△FED；
可根据各相似三角形得到的比例线段求出y的值，进而可求得AD的值．

解答：解：（1）∵∠EDF=30°，ED⊥AB于D，
∴∠FDB=∠B=60°，∴△BDF是等边三角形；
∵BC=1，∴AB=2；
∴2-x=1-y；
∴y=x-1；（2分）
自变量的取值范围是：1≤x≤

3

2

；（3分）

（2）①如图，∠FED=90°，△CEF∽△EDF，

∴

CF

EF

=

EF

DF

，即

y

2y

=

2y

1-y

解得，y=

1

5

；
∴BF=1-

1

5

=

4

5

，（4分）AD=AB-BD=2-

4

5

=

6

5

；（5分）
②如图2，∠EFD=90°，△CEF∽△FED，

∴

CF

FD

=

CE

EF

，即

y

1-y

=

1

2

；
解得，y=

1

3

；
∴BF=1-

1

3

=

2

3

；（6分）
∴AD=AB-BD=2-

2

3

=

4

3

．（7分）

点评：此题主要考查了直角三角形的性质、一次函数的应用、相似三角形的判定和性质；同时还考查了分类讨论的数学思想．