Question

如图，在△ABC，AB=AC，以AB为直径的⊙O分别交AC、BC于点D、E，点F在
AC的延长线上，且∠CBF=∠CAB．

（Ⅰ）求证：直线BF是⊙O的切线；
（Ⅱ）若AB=5，sin∠CBF=，求BC和BF的长．

Answer 1

（Ⅰ）证明：连接AE.
∵AB为⊙O的直径，∴∠AEB=90°.        
∴∠EAB+∠ABE=90°.
∵ AB="AC" , ∴∠EAB=∠CAB .          
∵∠CBF=∠CAB , ∴∠EAB =∠CBF，     
∴ ∠CBF+∠ABE=90°，即∠ABF==90°.
∵AB是⊙O的直径，∴ 直线BF是⊙O的切线.
（Ⅱ）解：过点C作CG⊥AB于点G .
∵sin∠CBF=，∠EAB =∠CBF，  ∴sin∠EAB=，
∵∠AEB=90°，AB=5，∴BE= AB·sin∠EAB=
∵AB=AC，∠AEB=90°，∴BC="2" BE=2.  
在Rt△ABE中，AE==2.
∴ sin∠ABE=，cos∠ABE=.
在Rt△CBG中，可求得GC=4，GB="2" ，∴ AG="3" .
∵CG∥BF，∴△AGC∽△ABF，          
∴ ,∴BF==.      

（I）连接AE，利用直径所对的圆周角是直角，从而判定直角三角形，利用直角三角形两锐角相等得到直角，从而证明∠ABF=90°．
（II）利用已知条件证得∴△AGC∽△BFA，利用比例式求得线段的长即可．