Question

【题目】如图，AB是半圆O的直径，D为BC的中点，连接OD并延长，交弧BC于点E，F为OD延长线上一点且满足∠OFC＝∠ABC．

（1）试判断CF与⊙O的位置关系，并说明理由；

（2）若∠ABC＝30°，求sin∠DAO的值．

Answer 1

【答案】（1）CF是⊙O的切线，理由详见解析；（2）．

【解析】

（1）欲证明CF为⊙O的切线，只要证明即OC⊥CF即可．

（2）设⊙O的半径为r．由OD⊥BC 且∠ABC＝30°，可得OD＝OB＝r，作DH⊥AB于H，求出DH、AD即可解决问题．

（1）结论：CF是⊙O的切线．

理由：连接CO．

∵D为BC的中点，且OB＝OC，

∴OD⊥BC，

∵OB＝OC，

∴∠OBC＝∠OCB，

又∵∠OBC＝∠OFC，

∴∠OCB＝∠OFC，

∵OD⊥BC，

∴∠DCF+∠OFC＝90°．

∴∠DCF+∠OCB＝90°．即OC⊥CF，

∴CF为⊙O的切线．

（2）①设⊙O的半径为r．如图，作DH⊥AB于H，

∵OD⊥BC 且∠ABC＝30°，

∴OD＝OB＝r，

在Rt△ODH中，∠DOH＝60°，OD＝r．

∴DH＝r，OH＝r，

在Rt△DAH中，∵AH＝AO+OH＝r，

∴由勾股定理：．

∴．