Question

取一张矩形的纸，按如下操作过程折叠：
第一步：将矩形ABCD沿MN对折，如图1；第二步：把B点叠在折痕MN上，新折痕为AE，点B在MN上的对应点为B′，如图2；第三步：展开，得到图3．
（1）你认为∠BAE的度数为______；
（2）利用图3试证明（1）的结论．

Answer 1

【答案】分析：（1）可先猜测三个角相等，且和为90°，那么每个角是30°；
（2）先过点B′作B′F⊥AD于F，矩形ABCD关于MN对折，所以有AM=BM=AB，∠AMB′=90°，所以四边形AMB′F是矩形，又△ABE关于AE对折得到△AB′E，所以AB=AB′，BE=B′E，且∠BAE=∠B′AE，所以就有B′F=AB′，可求出∠B′AF=30°，所以∠BAE=30°．
解答：（1）解：易得△B′MA为直角三角形，那么AM等于AB′的一半，即可得到∠MB′A=30°，
利用三角形内角和定理可得∠MAB′=60°，那么∠BAE等于∠MAB′的一半，为30°；（3分）

（2）证明：过点B′作B′F⊥AD于F，（4分）

∵矩形ABCD沿MN对折，
∴MA=MB=，∠AMB′=90°，（5分）
又∵∠MAF=∠B′FA=90°，
∴四边形AFB′M是矩形，
∴B′F=AM，（6分）
∵AB=AB′，
∴B′F=，（8分）
∴∠B′AF=30°，
∴∠BAB′=60°，（9分）
又∵∠ABE=EAB′，
∴∠BAE=30°．（10分）
点评：本题综合考查了对折后得到的两个图形全等，如果直角三角形中一条直角边等于斜边的一半，那么这个直角边所对的角是30°等知识．