Question

3．如图，四边形ABCD中，AD∥BC，AD＜BC，AB=AC，点E在AB上，连接DE、DC、EC，∠DCE=∠ACB．
（1）求证：△ACD∽△BCE；
（2）求证：DE=DC．

Answer 1

分析 （1）先根据AD∥BC得出∠DAC=∠ACB，再由AB=AC可得出∠ABC=∠ACB，故可得出∠DAC=∠ABC，根据∠DCE=∠ACB可得出∠ACD=∠BCE，据此可得出结论；
（2）先根据平行线的性质得出∠BAD+∠ABC=180°，再由∠DCE=∠ACB可知∠DCE+∠BAD=180°，故A、E、C、D四点共圆，故可得出∠DEC=∠DAC，再由∠DAC=∠DCE可得出∠DCE=∠DEC，故DE=DC．

解答 （1）证明：∵AD∥BC，
∴∠DAC=∠ACB．
∵AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB，
∴∠DAC=∠ABC．
∵∠DCE=∠ACB，
∴∠ACD=∠BCE，
∴△ACD∽△BCE；

（2）证明：∵AD∥BC，
∴∠BAD+∠ABC=180°．
∵∠DCE=∠ACB，
∴∠DCE+∠BAD=180°，
∴A、E、C、D四点共圆，
∴∠DEC=∠DAC．
∵∠DAC=∠DCE，
∴∠DCE=∠DEC，
∴DE=DC．

点评 本题考查的是相似三角形的判定与性质，涉及到平行线的性质、相似三角形的判定及四点共圆的相关知识，难度适中．