Question

【题目】我们把能被13整除的数称为“自觉数”，已知一个整数，把其个位数字去掉，再从余下的数中加上个位数的4倍如果和是13的倍数，则原数为“自觉数”，如果数字仍然太大不能直接观察出来就重复此过程．如416：41+4×6＝65，65÷13＝5，所以416是自觉数；又如25281：2528+4×1＝2532，253+4×2＝261，26+4×1＝30，因为30不能被13整除，所以25281不是“自觉数”．

（1）判断27365是否为自觉数　 　（填“是”或者“否”）．

（2）一个四位数n＝，规定F（n）＝|a+d﹣b×c|，如：F（2019）＝|2+9﹣0×1|＝11，若四位数n能被65整除，且该四位数的千位数字和十位数字相同，其中1≤a≤4．求出所有满足条件的四位数n中，F（n）的最大值．

Answer 1

【答案】（1）是；（2）32．

【解析】

（1）根据“自觉数”的方法计算即可得出结论；

（2）先确定出n既能被5整除也能被13整除，进而确定出或，分两种情况，利用n能13整除计算即可得出结论.

（1）

因为65能被13整除

所以27365是自觉数

故答案为：是；

（2）∵四位数能被65整除

∴四位数既能被13整除也能被5整除

∵四位数n能被5整除

∴四位数n的个位数字是0或5

即或

∵四位数n的千位数字和十位数字相同

当时，

去掉个位数字0，得到三位数

∵四位数能被13整除

∴三位数能被13整除

再去掉个位数字a，得到两位数

则能被13整除

∵b是四位数字的百位数字

或39或52或65

当时，，不存在符合题意的a，b的值

当时，，不存在符合题意的a，b的值

当时，，不存在符合题意的a，b的值

当是，，此时

即

当时，

去掉个位数字5得到三位数

∵四位数能被13整除

能被13整除

而的个位数字是a

再去掉个位数字，得到的两位数的个位数字为，十位数字是a

则能被13整除

或39或52或65

当时，，不存在符合题意的a，b的值

当时，，此时

即

当时，，此时

即

当时，，此时

即

综上，的值为32或11或16或19

故最大值为32.