Question

如图，AB为⊙O的直径，点C在上，点D在AB的延长线上于，且AC=CD，已知∠D=30°．
（1）判断CD与⊙O的位置关系，请说明理由．
（2）若弦CF⊥AB，垂足为E，且CF=2

3

，求图中阴影部分的面积．

Answer 1

分析：（1）连接OC，根据题意可求得∠A=30°，则∠OCA=30°，则∠OCD=90°，从而证得CD与⊙O相切；
（2）可求得CE，再在Rt△OCE中，利用三角函数求出OC，OE，即可得出阴影部分的面积．

解答：解：（1）CD与⊙O相切（1分）
理由：连接OC，（2分）
∵AC=DC，∴∠A=∠D=30°
∵AO=CO，∴∠OCA=∠A=30°．（3分）
∠COD=60°，∴∠D+∠COD=90°，∴∠OCD=90°
∴OC⊥CD，∴CD与⊙O相切（4分）

（2）∵CF⊥AB，∴CE=

1

2

CF=

3

（5分）
在Rt△OCE中，sin60°=

CE

OC

=

3

2

，OC=2
OE=1，S阴影=

nπr2

360

-

1

2

CE•OE=

60×π×22

360

-

1

2

×

3

×1=

2

3

π-

3

2

（7分）

点评：本题是一道综合性题目，考查了切线的判定和性质以及三角形面积、扇形面积的计算，特殊角的三角函数等知识点，要熟练掌握．