Question

【题目】如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°∠ACB＝60°．将Rt△ABC绕点C顺时针方向旋转后得到△DEC(△DEC≌△ABC)，点E在AC上，再将Rt△ABC沿着AB所在直线翻转180°得到△ABF，连接AD．

(1)求证：四边形AFCD是菱形；

(2)连接BE并延长交AD于点G，连接CG．请问：四边形ABCG是什么特殊平行四边形？为什么？

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）)四边形 ABCG 是矩形，见解析.

【解析】

（1）需证明△ACD是等边三角形、△AFC是等边三角形，即可证明四边形AFCD是菱形.（2）先证明四边形ABCG是平行四边形，再由∠ABC=90°，可证四边形ABCG是矩形。

解：(1) 证明：△DEC 是由 Rt△ABC 绕 C 点旋转后得到．

∴AC＝DC，∠ACD＝∠ACB＝60°．

∴△ACD 是等边三角形，

∴AD＝DC＝AC．

又∵Rt△ABF 是由 Rt△ABC 沿 AB 所在直线翻转 180°得到

∴AC＝AF，∠ABF＝∠ABC＝90°．

∴∠FBC 是平角，∴ 点 F、B、C 三点共线

∴△AFC 是等边三角形

∴AF＝FC＝AC．

∴AD＝DC＝FC＝AF．

∴四边形 AFCD 是菱形，

(2)四边形 ABCG 是矩形．

证明：由(1)可知：△ACD 是等边三角形，∠DEC＝∠ABC＝90°．

∴DE⊥AC 于 E．∴AE＝EC．

∵四边形 AFCD 是菱形，∴AG∥BC．

∴∠EAG＝∠ECB，∠AGE＝∠EBC．

∴△AEG≌△CEB，∴BE＝EG．

∴四边形 ABCG 是平行四边形．

而∠ACB＝90°，∴四边形 ABCG 是矩形．