Question

3、要使关于x的方程||x-3|-2|=a有三个整数解，则a的值是多少？

Answer 1

分析：先根据对值的性质求出a的取值范围，去掉绝对值符号，再根据方程有3个不同的整数解，则x₁，x₂，x₃，x₄中必有2个相同，列出关于a的方程，求出a的值即可．

解答：解：∵||x-3|-2|=a，
∴a≥0．
∴|x-3|-2=a或|x-3|-2=-a．
当|x-3|-2=a时，|x-3|=2+a，
∴x-3=2+a或x-3=-2-a．
∴x₁=5+a，x₂=1-a，
当|x-3|-2=-a时，|x-3|=2-a，a≤2，
∴x-3=2-a或x-3=-2+a，
∴x₃=5-a，x₄=1+a，
若方程有3个不同的整数解，则x₁，x₂，x₃，x₄中必有2个相同．
当x₁，x₂=2时，a=-2，与a≥0矛盾；
当x₁=x₃时，a=0，此时原方程有2个解；
当x₁=x₄时，a无解；
当x₂=x₃时，a无解；
当x₂=x₄时，a=0，此方程有2个解；
当x₃=x₄时，a=2．
综上有：当a=2时，原方程有3个不同的解．
故答案为：2．

点评：本题考查是方程的整数根及绝对值的性质，能根据题意判断出x₁，x₂，x₃，x₄中必有2个相同是解答此题的关键．