Question

15．如图，在△ABC中，AB=AC，点D是AB中点，以D为直角顶点作∠EDF，分别交AC、BC于点E、F，连接EF，若tanB=$\frac{3}{4}$，BF=2，EF=3$\sqrt{5}$，则AE=5．

Answer 1

分析 延长ED到E′使DE′=DE，过E′作E′G⊥CB交CB的延长线于点G，连接E′B，E′F，由全等三角形的性质得到∠E′BD=∠A，BE′=AE，得到BE′∥AC，所以∠E′BG=∠C，由锐角三角函数得到BG，GE′的关系，设出未知数，由勾股定理列方程求解．

解答 解：延长ED到E′使DE′=DE，过E′作E′G⊥CB交CB的延长线于点G，连接E′B，E′F，
在△ADE与△BDE′中，$\left\{\begin{array}{l}{AD=BD}\\{∠ADE=∠BDE′}\\{DE=DE′}\end{array}\right.$，
∴△ADE≌△BDE′，
∴∠E′BD=∠A，BE′=AE，
∴BE′∥AC，
∴∠E′BG=∠C，
∵AB=AC，∴∠ABC=∠C，
∴∠E′BG=∠ABC，
∵DE′=DE，DF⊥ED，
∴E′F=EF=3$\sqrt{5}$，
∵tanB=$\frac{3}{4}$，
设GE′=3x，BG=4x，
在R_t△GFE′中，由勾股定理得：
（4x+2）²+（3x）²=${（3\sqrt{5}）}^{2}$，
解得：x=1，
∴GE′=3，BG=4，
∴BE′=5，
∴AE=5．

点评 本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定和性质，勾股定理的应用，锐角三角函数的定义，正确的作出辅助线是解题的关键．