Question

18．已知：以O为圆心的扇形AOB中，∠AOB=90°，点C为$\widehat{AB}$上一动点，射线AC交射线OB于点D，过点D作OD的垂线交射线OC于点E，联结AE．
（1）如图1，当四边形AODE为矩形时，求∠ADO的度数；
（2）当扇形的半径长为5，且AC=6时，求线段DE的长；
（3）联结BC，试问：在点C运动的过程中，∠BCD的大小是否确定？若是，请求出它的度数；若不是，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）利用矩形的性质，只要证明△OAC是等边三角形，即可解决问题．
（2）如图2中，作OH⊥AD于H．由△AOH∽△ADO，推出$\frac{OA}{AD}$=$\frac{AH}{AO}$，推出$\frac{5}{AD}$=$\frac{3}{5}$，可得AD=$\frac{25}{3}$，CD=AD-AC=$\frac{7}{3}$，由DE∥OA，可得$\frac{DE}{OA}$=$\frac{CD}{AC}$，求出DE即可．
（3）如图3中，结论：∠BCD的值是确定的．∠BCD=45°．连接AB、BC，由∠BCD=∠BAC+∠ABC，又∠BAC=$\frac{1}{2}$∠BOC，∠ABC=$\frac{1}{2}$∠AOC，即可推出∠BCD=$\frac{1}{2}$∠BOC+$\frac{1}{2}$∠AOC=$\frac{1}{2}$（∠BCO+∠AOC）=$\frac{1}{2}$×90°=45°．

解答 解：（1）如图1中，

∵四边形ABCD是矩形，
∴AD=EC，AC=CD，OC=CE，∠AOD=90°
∴AC=OC=OA，
∴△AOC是等边三角形，
∴∠OAD=60°，
∴∠ADO=90°-∠OAD=30°．

（2）如图2中，作OH⊥AD于H．

∵OA=OC，OH⊥AC，
∴AH=HC=3，
∵∠OAH=∠OAD，∠AHO=∠AOD，
∴△AOH∽△ADO，
∴$\frac{OA}{AD}$=$\frac{AH}{AO}$，
∴$\frac{5}{AD}$=$\frac{3}{5}$，
∴AD=$\frac{25}{3}$，
∴CD=AD-AC=$\frac{7}{3}$，
∵DE⊥OD，
∴∠EDO=90°，
∴∠AOD+∠EDO=180°，
∴DE∥OA，
∴$\frac{DE}{OA}$=$\frac{CD}{AC}$，
∴$\frac{DE}{5}$=$\frac{\frac{7}{3}}{6}$，
∴DE=$\frac{35}{18}$．

（3）如图3中，结论：∠BCD的值是确定的．∠BCD=45°．
理由：连接AB、BC．

∵∠BCD=∠BAC+∠ABC，
又∵∠BAC=$\frac{1}{2}$∠BOC，∠ABC=$\frac{1}{2}$∠AOC，
∴∠BCD=$\frac{1}{2}$∠BOC+$\frac{1}{2}$∠AOC=$\frac{1}{2}$（∠BCO+∠AOC）=$\frac{1}{2}$×90°=45°．

点评 本题考查圆综合题、矩形的性质、圆周角定理、平行线的判定和性质、相似三角形的判定和性质、等边三角形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会添加常用辅助线，属于中考压轴题．