Question

7．如图，在正方形ABCD中，动点E，F分别从D，C两点同时出发，以相同的速度在边DC，CB上移动，连接AE和DF交于点P，由于点E，F的移动，使得点P也随之运动，若AD=2，线段CP的最小值是（　　）

• A． $\sqrt{2}$
• B． $\sqrt{5}$-1
• C． $\frac{\sqrt{5}}{2}$
• D． $\sqrt{3}$

Answer 1

分析 根据点E、F的运动速度判断出DE=CF，然后利用“边角边”证明△ADE和△DCF全等，根据全等三角形对应角相等可得∠DAE=∠CDF，然后求出∠APD=90°，取AD的中点O，连接OP，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得点P到AD的中点的距离不变，再根据两点之间线段最短可得C、P、O三点共线时线段CP的值最小，然后根据勾股定理列式求出CO，再求解即可．

解答 解：∵动点E，F分别从D，C两点同时出发，以相同的速度在边DC，CB上移动，
∴DE=CF，
在△ADE和△DCF中，$\left\{\begin{array}{l}{AD=CD}\\{∠ADE=∠BCD=90°}\\{DE=CF}\end{array}\right.$，
∴∠DAE=∠CDF，
∵∠CDF+∠ADF=∠ADC=90°，
∴∠ADF+∠DAE=90°，
∴∠APD=90°，
取AD的中点O，连接OP，则OP=$\frac{1}{2}$AD=$\frac{1}{2}$×2=1（不变），
根据两点之间线段最短得C、P、O三点共线时线段CP的值最小，
在Rt△COD中，根据勾股定理得，CO=$\sqrt{C{D}^{2}+O{D}^{2}}$=$\sqrt{{2}^{2}+{1}^{2}}$=$\sqrt{5}$，
所以，CP=CO-OP=$\sqrt{5}$-1．
故选B．

点评 本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，勾股定理，确定出点P到AD的中点的距离是定值是解题的关键，也是本题的难点．