Question

【题目】如图， 为等边三形内的一点， ，将线段以点为旋转中心逆时针旋转60°得到线段，下列结论:①点与点的距离为5；②；③可以由绕点进时针旋转60°得到；④点到的距离为3；⑤，其中正确的有( )

A.2个B.3个C.4个D.5个

Answer 1

【答案】B

【解析】

连结DD′，根据旋转的性质得AD＝AD′，∠DAD′＝60°，可判断△ADD′为等边三角形，则DD′＝5，可对①进行判断；由△ABC为等边三角形得到AB＝AC，∠BAC＝60°，则把△ABD逆时针旋转60°后，AB与AC重合，AD与AD′重合，于是可对③进行判断；再根据勾股定理的逆定理得到△DD′C为直角三角形，则可对②④进行判断；由于S四边形ADCD′＝S△ADD′＋S△D′DC，利用等边三角形的面积公式和直角三角形面积公式计算后可对⑤进行判断．

解：连结DD′，如图，

∵线段AD以点A为旋转中心逆时针旋转60°得到线段AD′，

∴AD＝AD′，∠DAD′＝60°，

∴△ADD′为等边三角形，

∴DD′＝5，所以①正确；

∵△ABC为等边三角形，

∴AB＝AC，∠BAC＝60°，

∴把△ABD逆时针旋转60°后，AB与AC重合，AD与AD′重合，

∴△ACD′可以由△ABD绕点A逆时针旋转60°得到，所以③正确；

∴D′C＝DB＝4，

∵DC＝3，

在△DD′C中，∵32＋42＝52，

∴DC2＋D′C2＝DD′2，

∴△DD′C为直角三角形，

∴∠DCD′＝90°，

∵△ADD′为等边三角形，

∴∠ADD′＝60°，

∴∠ADC≠150°，所以②错误；

∵∠DCD′＝90°，

∴DC⊥CD′，

∴点D到CD′的距离为3，所以④正确；

∵S四边形ADCD′＝S△ADD′＋S△D′DC＝，所以⑤错误．

故选：B．