Question

15．如图，AB是⊙O的直径，点P在AB的延长线上，弦CE交AB于点D，连结OE、AC，已知∠POE=2∠CAB．
（1）求证：CE⊥AB；
（2）当∠P=∠E时，求证：PC是⊙O的切线．

Answer 1

分析 （1）连结OC，如图，根据圆周角定理得∠POC=2∠CAB，由于∠POE=2∠CAB，则∠POC=∠POE，根据等腰三角形的性质即可得到CE⊥AB；
（2）由CE⊥AB得∠P+∠PCE=90°，加上∠E=∠OCD，∠P=∠E，所以∠OCD+∠PCE=90°，则OC⊥PC，然后根据切线的判定定理即可得到结论．

解答 证明：（1）连结OC，如图，
∴∠POC=2∠CAB，
∵∠POE=2∠CAB，
∴∠POC=∠POE，
∵OC=OE，
∴CE⊥AB；
（2）∵CE⊥AB，
∴∠CDP=90°，
∴∠P+∠PCE=90°，
∵∠E=∠OCD，∠P=∠E，
∴∠OCD+∠PCE=90°，
即∠OCP=90°，
∴OC⊥PC，
∴PC是⊙O的切线．

点评 本题考查了切线的判定定理：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线．要证某线是圆的切线，已知此线过圆上某点，连接圆心与这点（即为半径），再证垂直即可．也考查了圆周角定理．