Question

【题目】已知:在△ABC中，且∠BAC＝70°，AD是△ABC的角平分线，点E是AC边上的一点，点F为直线AB上的一动点，连结EF，直线EF与直线AD交于点P，设∠AEF＝α°

(1)如图①，若 DE//AB，则①∠ADE的度数是_______;

②当∠DPE＝∠DEP时，∠AEF= _____度:当∠PDE＝∠PED，∠AEF=_______度;

(2)如图②，若DE⊥AC，则是否存在这样的α的值，使得△DPE中有两个相等的角?若存在求出α的值;若不存在，说明理由

Answer 1

【答案】（1）①35°；②37.5，75；（2）27.5°或20°或35°．

【解析】

（1）①利用平行线的性质，可知∠ADE=∠BAD，由此即可解决问题；

②利用三角形的内角和定理以及三角形的外角的性质解决问题即可；

（2）用分类讨论的思想思考问题即可；

解：（1）①∵∠BAC=70°，AD是△ABC的角平分线，

∴∠BAD=∠BAC=35°，

∵DE∥AB，

∴∠ADE=∠BAD=35°，

故答案为35°．

②在△DPE中，∵∠ADE=35°，

∴∠DPE=∠PED=（180°-35°）=72.5°，

∵∠DPE=∠AEP+∠DAE，

∴∠AEF=72.5°-35°=37.5°；

∵当∠PDE=∠PED时，∠DPE=70°，

∴∠AEF=∠DPE-∠DAE=75°．

故答案为37.5，75；

（2）在Rt△ADE中，∠ADE=90°-35°=55°．

①当DP=DE时，∠DPE=62.5°，∠AEF=∠DPE-∠DAC=62.5°-35°=27.5°．

②当EP=ED时，∠EPD=∠ADE=55°，∠AEF=∠DPE-∠DAC=55°-35°=20°．

③当DP=PE时，∠EPD=180°-2×55°=70°，∠AEF=∠DPE-∠DAC=70°-35°=35°．