Question

1．在△ABC中，AB=AC，∠BAC=100°，将线段AC绕着点C逆时针旋转得到线段CD，旋转角为α，且0°＜α＜180°，连接AD、BD．
（1）如图1，当α=60°时，∠CBD 的大小为30°；
（2）当α=20°时，在图2的位置画出对应的图形；
（3）若∠CBD=30°，请直接写出α的所有值．

Answer 1

分析 （1）由∠BAC=100°，AB=AC，可以确定∠ABC=∠ACB=40°，旋转角为α，α=60°时△ACD是等边三角形，且AC=AD=AB=CD，知道∠BAD的度数，进而求得∠CBD的大小；
（2）根据旋转的定义即可得．
（3）结合（1）（2）的解题过程可以发现规律，△ACD是等边三角形时，CD在△ABC内部时，CD在△ABC外部时，求得答案

解答 解：（1）∵∠BAC=100°，AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB=40°，当α=60°时，
由旋转的性质得AC=CD，
∴△ACD是等边三角形，
∴∠DAC=60°，
∴∠BAD=∠BAC-∠DAC=100°-60°=40°，
∵AB=AC，AD=AC，
∴∠ABD=∠ADB=$\frac{180°-∠BAD}{2}$=70°，
∴∠CBD=∠ABD-∠ABC=70°-40°=30°，
故答案为：30°；

（2）如图2所示；


（3）①由（1）可知，∠α=60°时可得∠BAD=100°-60°=40°，∠ABC=∠ACB=90°-$\frac{100°}{2}$=40°，
∠ABD=90°-$\frac{1}{2}$∠BAD=120°-$\frac{100°}{2}$=70°，
∠CBD=∠ABD-∠ABC=30°．
②如图3，翻折△BDC到△BD₁C，

则此时∠CBD₁=30°，
∠BCD=60°-∠ACB=$\frac{100°}{2}$-30°=20°，
∠α=∠ACB-∠BCD₁=∠ACB-∠BCD=$\frac{180°-100°}{2}$-20°=20°；
③以C为圆心CD为半径画圆弧交BD的延长线于点D₂，连接CD₂，
∠CDD₂=∠CBD+∠BCD=30°+$\frac{100°}{2}$-30°=50°，
∠DCD₂=180°-2∠CDD₂=180°-100°=80°，
∠α=60°+∠DCD₂=140°．
综上所述，α为60°或20°或140°时，∠CBD=30°．

点评 本题考查旋转变换的定义及性质、等腰三角形的性质，解答这类题目的关键是要善于从探究特殊结论中归纳出一般性解题方法，并灵活运用这种方法解答一般性的问题，真正达到举一反三的目的．