Question

12．如图，∠ABD和∠BDC的平分线交于点E，BE的延长线交CD于点F，且∠1+∠2=90°．求证：
（1）AB∥CD；   
（2）猜想∠2 与∠3的关系并证明．

Answer 1

分析 （1）已知BE、DE平分∠ABD、∠BDC，且∠1+∠2=90°，可得∠ABD+∠BDC=180°，根据同旁内角互补，可得两直线平行．
（2）已知∠1+∠2=90°，即∠BED=90°，那么∠3+∠FDE=90°，将等角代换，即可得出∠3与∠2的数量关系．

解答 证明：（1）∵BE、DE平分∠ABD、∠BDC，
∴∠1=$\frac{1}{2}$∠ABD，∠2=$\frac{1}{2}$∠BDC；
∵∠1+∠2=90°，
∴∠ABD+∠BDC=180°；
∴AB∥CD；（同旁内角互补，两直线平行）

（2）∠2+∠3=90°．
理由：∵DE平分∠BDC，
∴∠2=∠FDE；
∵∠1+∠2=90°，
∴∠BED=∠DEF=90°；
∴∠3+∠FDE=90°；
∴∠2+∠3=90°．

点评 此题主要考查了角平分线的性质、三角形内角和定理以及平行线的判定，难度不大．解题的关键是掌握角平分线定义和平行线的判定方法．