Question

【题目】如图1所示，在四边形ABCD中，AD∥BC， AB⊥BC，∠DCB=75，以CD为一边的等边△DCE的另一顶点E在边AB上．

(1)求∠AED的度数；

(2)连接AC，如图2所示，试判断△ABC的形状；

(3)如图3所示，若F为线段CD上一点，AB=4，∠FBC=30，求DF的长．

Answer 1

【答案】(1) 45°；(2)△ABC的形状是等腰直角三角形，理由见解析；(3)

【解析】

(1)根据直线平行的性质得到∠ADC的度数，再根据等边三角形的性质和AB⊥BC即可得到答案；

(2)先证A在线段DE的垂直平分线上，再证明点C也在线段DE的垂直平分线上，最后得到BA=BC，即可得到△ABC的形状；

(3) 连接AF，BF、AD的延长线交于点G，证△BCF≌△GDF（ASA）得到DF=CF，再根据三角函数值计算即可得到答案；

解：(1)∵∠DCB=75，AD∥BC，

∴∠ADC=180°-75°=105°（两直线平行，同旁内角互补），

又∵△DCE是等边三角形，

∴∠CDE=60°，

故∠ADE=105°-60°=45°，

又∵AD∥BC， AB⊥BC，

∴∠DAB=90°，

∴∠AED=180°-90°-45°=45°；

(2) 由(1)知∠AED=45°，

∴AD=AE，

故点A在线段DE的垂直平分线上，

又∵△DCE是等边三角形，

∴CD=CE，

故点C也在线段DE的垂直平分线上，

∴AC就是线段DE的垂直平分线，即AC⊥DE，

∵∠AED=45°，

∴∠BAC=45°，

又∵AB⊥BC，

∴BA=BC，

故△ABC的是等腰直角三角形；
(3) 连接AF，BF、AD的延长线交于点G，如下图：

∵∠FBC=30，∠DCB=75，

∴∠BFC=75°，

∴BC=BF，

又由(2)知BA=BC，

∴BF=BC（等量替换），

∴∠ABF=90°－30°=60°，

∴AB=BF=FA，

又∵AD∥BC， AB⊥BC，

∴∠FAG=∠G=30°，

∴FG=FA=FB，

∵∠G=∠FBC=30°，∠DFG=∠CFB，FB=FG，

∴△BCF≌△GDF（ASA），

∴DF=CF，

又∵根据题意得:，

我们知道，

∴，

∴DF=；