Question

10．如图，在平行四边形纸片ABCD中，AB=3cm，将纸片沿对角线AC对折，BC边与AD边交于点E，此时△CDE恰为等边三角形，求：
（1）AD的长度；
（2）重叠部分的面积．

Answer 1

分析 （1）首先根据等边三角形的性质可得DF=DC=EC，∠D=60°，根据折叠的性质，∠BCA=∠B′CA，再利用平行四边形的性质证明∠DAC=30°，∠ACD=90°，利用直角三角形30°角所对的边等于斜边的一半可得CD长，进而可得AB的长；
（2）利用三角函数值计算出AC，然后根据三角形的中线平分三角形的面积可得S_△ACE=$\frac{1}{2}$S_△ACD，进而可得答案．

解答 解：（1）∵△CDE为等边三角形，
∴DE=DC=EC，∠D=60°，
根据折叠的性质，∠BCA=∠B′CA，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AD=BC=6cm，AB=CD，
∴∠EAC=∠BCA，
∴∠EAC=∠ECA，
∴EA=EC，
∴∠DAC=30°，
∴∠ACD=90°，
∴AD=2CD=6cm；
（2）∵CD=3cm，∠ACD=90°，∠DAC=30°，
∴AC=3$\sqrt{3}$cm，
∴S_△ACE=$\frac{1}{2}$×AC×CD=$\frac{9\sqrt{3}}{4}$cm²．

点评 此题主要考查了平行四边形的性质、直角三角形的性质以及翻折变换，关键是掌握平行四边形的对边平行且相等，直角三角形30°角所对的边等于斜边的一半．