Question

如图，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，以CD为直径作⊙O，交BC边于点E，连接OE，过E作EH⊥AB，垂足为H，已知⊙O与AB边相切，切点为F。

（1）求证：OE∥AB；
（2）探究线段EH与AB的数量关系，并证明你的结论；
（3）若BH=1，EC=，求⊙O的半径。

Answer 1

解：（1）证明：∵四边形ABCD是等腰梯形，AD∥BC，
∴AB=CD，∠B=∠C，
∵OE=OC，
∴∠OEC=∠C，
∴∠OEC=∠B，
∴OE∥AB；
（2）连接OF，
∵⊙O与AB相切于F，
∴OF⊥AB，
∵EH⊥AB于H，
∴∠OFB=∠EHB=90°，
∴OF∥EH，
∵OE∥AB，
∴四边形OEHF为平行四边形，
∴EH=OF=CD，
∵AB=CD，
∴EH=AB；
（3）连接DE，设⊙O的半径为r，
∵CD为⊙O的直径，
∴∠DEC=∠EHB=90°，
∵∠B=∠C，
∴△DEC∽△EHB，
∴，
∵BH=1，EC=，
∴DE=EH=r，
在Rt△DEC中，，
∴，
解得r=（负值舍去），
∴⊙O的半径为。