Question

8．在梯形ABCD中，AD∥BC，AD=a，BC=b，点M，N分别在线段AB和CD上，有MN∥AD，且MN将梯形ABCD分成面积相等的两部分，则MN=$\frac{\sqrt{2（{a}^{2}+{b}^{2}）}}{2}$．

Answer 1

分析 过A作AG∥DC，交EF于H，BC于G，则EH=c-a，BG=B=b-a，如图，设梯形AEFD的高为m，梯形ABCD的高为n，EF=c，根据已知条件得到△AEF∽△ABG，根据相似三角形的性得到$\frac{m}{n}=\frac{EH}{BG}=\frac{c-a}{b-a}$，求得m=$\frac{c-a}{b=a}n$，根据梯形的面积公式得到${\frac{1}{2}S}_{梯形ABCD}$=$\frac{1}{2}$•$\frac{a+b}{2}n$=$\frac{1}{4}（a+b）n$，推出S_梯形AEFD=${\frac{1}{2}S}_{梯形ABCD}$，即可得到结论．

解答 解：过A作AG∥DC，交EF于H，BC于G，则EH=c-a，BG=B=b-a，
如图，设梯形AEFD的高为m，梯形ABCD的高为n，EF=c，
∵AD∥BC∥EF，
∴△AEF∽△ABG，
∴$\frac{m}{n}=\frac{EH}{BG}=\frac{c-a}{b-a}$，
∴m=$\frac{c-a}{b=a}n$，
∴S_梯形AEFD=$\frac{a+c}{2}•m$=$\frac{a+c}{2}•\frac{c-a}{b-a}n$=$\frac{1}{2}$•$\frac{{c}^{2}-{a}^{2}}{b-a}$n，
${\frac{1}{2}S}_{梯形ABCD}$=$\frac{1}{2}$•$\frac{a+b}{2}n$=$\frac{1}{4}（a+b）n$，
∴S_梯形AEFD=${\frac{1}{2}S}_{梯形ABCD}$，
即$\frac{1}{2}$•$\frac{{c}^{2}-{a}^{2}}{b-a}$n=$\frac{1}{4}（a+b）n$，
∴c²=$\frac{{a}^{2}+{b}^{2}}{2}$=$\frac{\sqrt{2（{a}^{2}+{b}^{2}）}}{2}$．
故答案为：$\frac{\sqrt{2（{a}^{2}+{b}^{2}）}}{2}$．

点评 本题考查了梯形的性质，相似三角形的判定和性质，正确的周长辅助线是解题的关键．