Question

如图，抛物线y=ax²-8ax+12a（a＜0）与X轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），抛物线上另有一点C在第一象限，满足∠ACB是直角，且恰使△OCA∽△OBC．
（1）求：A、B两点坐标；
（2）求该抛物线的解析式；
（3）在x轴上是否存在点P，使△BCP为等腰三角形，若存在，求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）令抛物线中y=0，可得出A、B的坐标．
（2）先根据△OCA∽△OBC，得出OC的长度，设AC=k，则BC=k，在RT△ABC中，可求出k的值，继而就可得出OA=AC，过点C作CD⊥AB于点D，然后利用解直角三角形的知识，可求出点C的坐标，代入可得出二次函数解析式．
（3）应该有四个符合条件的点：
①以C为圆心，BC为半径作弧，交x轴于一点，这点符合P点要求，此时CP=BC，已知了B、C的坐标，即可求出P点坐标．
②以B为圆心，BC为半径作弧，交x轴于两点，这两点也符合P点要求，此时BC=BP，根据B、C的坐标，不难得出BC的长，将B点坐标向左或向右平移BC个单位即可得出P点坐标．
③作BC的垂直平分线，与x轴的交点也符合P点要求，此时CP=BP，可设出P点坐标，用坐标系两点间距离公式表示出BP和CP的长，即可求出P点坐标．
因此共有4个符合条件的P点．
解答：解：（1）由ax²-8ax+12a=0（a＜0）
得x₁=2，x₂=6．
A、B两点坐标分别为：（2，0），（6，0）．

（2）由（1）知OA=2，OB=6．
又∵△OCA∽△OBC，
∴OC²=OA•OB=2×6．
∴OC=2 （-2 舍去）．
∴线段OC的长为2 ．
∴
设AC=k，则BC=k
由AC²+BC²=AB²得
k²+（ k）²=（6-2）²
解得k=2（-2舍去）
∵OA=AC=2，
∴AC=2，BC=2=OC
过点C作CD⊥AB于点D，
∴OD=OB=3
∴CD=
∴C的坐标为（3，）
将C点的坐标代入抛物线的解析式得 =a（3-2）（3-6）
∴a=-
∴抛物线的函数关系式为：
y=-x²+x-4．

（3）①当P₁与O重合时，△BCP₁为等腰三角形
∴P₁的坐标为（0，0）；
②当P₂B=BC时（P₂在B点的左侧），△BCP₂为等腰三角形
∴P₂的坐标为（6-2，0）；
③当P₃为AB的中点时，P₃B=P₃C，△BCP₃为等腰三角形
∴P₃的坐标为（4，0）；
④当BP₄=BC时（P₄在B点的右侧），△BCP₄为等腰三角形
∴P₄的坐标为（6+2，0）；
∴在x轴上存在点P，使△BCP为等腰三角形，符合条件的点P的坐标为：
（0，0），（6-2，0），（4，0），（6+2，0）．
点评：本题考查了二次函数的知识，其中涉及了数形结合问题，由抛物线求二次函数的解析式，用几何中相似三角形的性质求点的坐标等知识．注意这些知识的综合应用．